Galois Grubu
Bir cisim genişlemesinin Galois grubu, temel cismi sabitleyen cisim otomorfizmleri grubudur; bir polinomun köklerinin simetrilerini kodlamakta ve ara cisimleri indekslemektedir.
Tanım
Bir cisim genişlemesi için Galois grubu, temel cismin her elemanını sabitleyen daha büyük cismin otomorfizmleri grubudur; bu grup derecesi kadar büyük olduğunda genişlemeye Galois denir ki bu durum tam olarak sonlu normal ve ayrılabilir genişlemeler için geçerlidir.
Kapsam
Bu konu, cisim genişlemelerinin otomorfizmlerini, Galois grubunun tanımını, normal ve ayrılabilir genişlemeleri, Galois teorisinin temel teoremini ve polinomların Galois gruplarının hesaplanmasını ve bunların köklerin permütasyon grupları olarak yorumlanmasını kapsamaktadır.
Temel sorular
- Bir cisim genişlemesi hangi simetrilere sahiptir?
- Bir genişleme ne zaman Galois'dir ve otomorfizm grubu ne kadar büyüktür?
- Galois grubu ara cisimlere nasıl karşılık gelir?
- Bir polinomun Galois grubu, köklerinin bir permütasyon grubu olarak nasıl gerçekleştirilir?
Temel kuramlar
- Galois teorisinin temel teoremi
- Sonlu bir Galois genişlemesi için, ara cisimler ile Galois grubunun alt grupları arasında kapsama ilişkisini tersine çeviren bir bijeksiyon bulunmaktadır; bu bijeksiyon altında bir alt genişlemenin derecesi, karşılık gelen alt grubun indeksine eşittir.
- Köklerin permütasyonları olarak Galois grubu
- Ayrılabilir bir polinomun Galois grubu, kökleri üzerinde sadakatle etki ederek, onu bu kökler üzerindeki simetrik grubun bir alt grubu olarak gömmektedir; bu durum grubu kısıtlamakta ve hesaplamaya yardımcı olmaktadır.
- Artin'in sabit cisimler üzerine teoremi
- Eğer sonlu bir otomorfizm grubu bir cisim üzerinde etki ederse, tüm cisim, o grubun kendi Galois grubu olduğu sabit alt cismin bir Galois genişlemesidir; bu durum Galois gruplarının yapımına bir tersini vermektedir.
Klinik önem
Galois grubu, cisim genişlemeleri ve polinom denklemleri hakkındaki soruları grup teorisine dönüştürmektedir; çözülebilirliği, radikallerle çözülebilirliği belirlemekte olup, ters Galois problemi ve Galois temsilleri, onu modern sayı teorisi ve aritmetik geometrinin merkezinde yer almasını sağlamaktadır.
Tarihçe
Galois, 1830'larda her denkleme köklerinin bir permütasyon grubunu, yani orijinal Galois grubunu ilişkilendirmiştir. Dedekind ve Artin bunu cisimlerin otomorfizmleri açısından yeniden formüle etmiş, Artin'in sabit cisimler açısından formülasyonu ise teoriye modern, kavramsal şeklini vermiştir.
Öne çıkan isimler
- Évariste Galois
- Emil Artin
- Richard Dedekind
- Leopold Kronecker
İlgili konular
Temel eserler
- dummit2004
- lang2002
- artin2011
Sıkça sorulan sorular
- Bir cisim genişlemesi ne zaman Galois'dir?
- Sonlu bir genişleme, hem normal (elemanlarının her birinin tüm eşleniklerini içerir) hem de ayrılabilir (minimal polinomların farklı kökleri vardır) olduğunda Galois'dir. Eşdeğer olarak, temel cismi sabitleyen otomorfizm grubunun mertebesi dereceye eşittir.
- Galois grubunu neden kökleri permüte eden bir grup olarak görürüz?
- Temel cismi sabitleyen bir otomorfizm, bir polinomun köklerini diğer köklere göndermek zorundadır, bu nedenle grup, sonlu kök kümesi üzerinde etki eder. Bu durum, Galois grubunu bir simetrik grup içinde gerçekleştirerek onu hesaplanabilir kılar ve permütasyon-grup teorisiyle ilişkilendirir.