Birincil Ayrışım
Birincil ayrışım, bir Noether halkasındaki bir ideali, sonlu bir birincil idealler kesişimi olarak ifade etmektedir; bu, tam sayıların asal kuvvetlere ayrıştırılmasını genelleştirmekte ve ilişkili asalları ortaya çıkarmaktadır.
Tanım
Bir idealin birincil ayrışımı, o ideali sonlu bir birincil idealler kesişimi olarak ifade etmektir; burada bir ideal, içinde bulunan bir çarpımın, çarpanlardan birini veya diğerinin bir kuvvetini içinde bulundurmasını gerektiriyorsa birincil olarak tanımlanmaktadır; bu bileşenlerin radikalleri ise ilişkili asallardır.
Kapsam
Bu konu, birincil idealleri ve radikallerini, Noether halkalarında birincil ayrışımların varlığına dair Lasker-Noether teoremini, indirgenemez ayrışımları, ilişkili asalların ve izole edilmiş birincil bileşenlerin tekliğini, ayrıca indirgenemez bileşenler ve gömülü asallar aracılığıyla geometrik yorumu kapsamaktadır.
Temel sorular
- Birincil ideal nedir ve bir asal kuvveti nasıl genelleştirmektedir?
- Bir ideal ne zaman bir birincil ayrışımı kabul etmektedir?
- Bir birincil ayrışımın hangi kısımları tek olarak belirlenmektedir?
- İlişkili ve gömülü asallar geometrik olarak nasıl ortaya çıkmaktadır?
Temel kuramlar
- Lasker-Noether teoremi
- Bir Noether halkasında her ideal, birincil ideallerin sonlu bir kesişimidir; bu nedenle birincil ayrışım her zaman mevcuttur ve tek çarpanlara ayırmayı elemanlardan ideallere genelleştirmektedir.
- İlişkili asalların tekliği
- Birincil bileşenlerin kendileri her zaman tek olmasa da, ilişkili asallar kümesi (bileşenlerin radikalleri) ideal tarafından tek olarak belirlenmektedir; minimal ilişkili asallar için bileşenler de aynı şekilde tek olarak belirlenmektedir.
- Geometrik yorum
- Minimal ilişkili asallar, ideal tarafından tanımlanan cebirsel kümenin indirgenemez bileşenlerine karşılık gelmektedir; gömülü asallar ise alt çeşitler boyunca çokluklar gibi ek, daha düşük boyutlu yapıları kaydetmektedir.
Klinik önem
Birincil ayrışım, çarpanlara ayırmanın ideal-teorik analoğudur ve cebirsel geometri için temel niteliktedir: bir cebirsel kümeyi indirgenemez bileşenlere ayırmakta, gömülü ve çoklu yapıları tespit etmekte ve değişmeli cebir boyunca kullanılan bir modülün ilişkili asallarını düzenlemektedir.
Tarihçe
Emanuel Lasker, 1905 yılında polinom halkaları için birincil ayrışımı kanıtlamış, Emmy Noether ise 1921 yılında, artan zincir koşulunu tanıtan makalesinde, bunu tüm Noether halkaları için soyut olarak tesis etmiştir; bu sonuç, onların adıyla Lasker-Noether teoremi olarak adlandırılmaktadır.
Öne çıkan isimler
- Emanuel Lasker
- Emmy Noether
- Wolfgang Krull
İlgili konular
Temel eserler
- atiyah1969
- eisenbud1995
- matsumura1989
Sıkça sorulan sorular
- Birincil ayrışım, tam sayıları çarpanlara ayırmaya nasıl benzemektedir?
- Bir tam sayıyı asal kuvvetlerin çarpımı olarak yazmak, o sayının ürettiği ideal için, radikalleri asallar olan birincil ideallerin bir kesişimine karşılık gelmektedir. Birincil ayrışım, bunu tam sayılardan herhangi bir Noether halkasındaki ideallere genişletmektedir; burada kelimenin tam anlamıyla çarpanlara ayırma başarısız olabilmektedir.
- Bir birincil ayrışım tek midir?
- Tamamen değil. İlişkili asallar kümesi ve minimal asallara ait bileşenler tek olmakla birlikte, gömülü asallar için bileşenler farklı şekillerde seçilebilmektedir. Bu nedenle, asal veriler kanonik iken, belirli bileşenler değildir.