İdeal
Bir ideal, bir halkanın toplama altında kapalı ve çarpma altında soğurucu (absorbent) olan özel bir alt kümesidir; bu alt küme, bir homomorfizmanın çekirdeği olarak işlev görmekte ve bölüm halkalarının oluşturulmasında kullanılmaktadır.
Tanım
Bir R halkasının ideali, R'nin elemanlarıyla çarpımı soğuran bir toplamsal alt gruptur; değişmeli bir halkada ise bir I alt kümesi, toplama altında kapalı olması ve her r ∈ R ve i ∈ I için ri'nin I içinde yer alması durumunda bir ideal olarak tanımlanmaktadır.
Kapsam
Bu konu, sol, sağ ve iki taraflı idealleri; temel, maksimal ve asal idealleri; idealler üzerindeki toplama, çarpma ve kesişim gibi işlemleri; bölüm halkalarını ve karşılık teoremini; ayrıca cisimlerin ve tamlık bölgelerinin maksimal ve asal idealleri aracılığıyla karakterizasyonunu kapsamaktadır.
Temel sorular
- İdealler, halka homomorfizmalarının çekirdekleriyle nasıl bir ilişki içindedir?
- Asal ve maksimal idealleri birbirinden ayıran nedir ve bunların bölüm halkaları neye benzemektedir?
- Yeni idealler, toplama, çarpma ve kesişim yoluyla eski ideallerden nasıl oluşturulmaktadır?
- İdeallerin kafesi, halkanın yapısını nasıl yansıtmaktadır?
Temel kuramlar
- Çekirdek Olarak İdealler
- Bir halkanın bir alt kümesi, ancak ve ancak bir ideal ise bir halka homomorfizmasının çekirdeğidir; bir ideal ile bölüm almak ise onu sıfırlayan evrensel homomorfizmayı vermektedir, bu durum grup teorisindeki normal alt grupları yansıtmaktadır.
- Asal ve Maksimal İdealler
- Birim elemanlı değişmeli bir halkada, bir ideal, bölüm halkası bir tamlık bölgesi (integral domain) olduğunda asal, bölüm halkası bir cisim (field) olduğunda ise maksimaldir; bu nedenle maksimal idealler asaldır.
- Kafes Karşılığı
- Bir bölüm halkasının idealleri, seçilen ideali içeren orijinal halkanın idealleriyle birebir eşleşmektedir; bu durum, yapısal soruların bir halka ile bölüm halkaları arasında aktarılmasına olanak tanımaktadır.
Klinik önem
İdealler, halka teorisinin merkezi düzenleyici kavramıdır: asal idealler, cebirsel geometrinin spektrumlarının noktalarıdır, idealler polinom denklemler sistemlerini kodlamaktadır ve idealler aracılığıyla yapılan bölüm yapıları, sonlu cisimler ve varyetelerin koordinat halkaları gibi yeni halkalar oluşturmaktadır.
Tarihçe
İdeal kelimesi, cebirsel sayı teorisinde tek türlü çarpanlara ayırmayı yeniden sağlamak amacıyla Kummer'in ideal sayılarından gelmektedir; Dedekind onları kümeler olarak, yani modern idealler olarak yeniden formüle etmiştir. Emmy Noether'in idealler üzerindeki zincir koşulları ise daha sonra onları soyut halka teorisinin omurgası haline getirmiştir.
Öne çıkan isimler
- Richard Dedekind
- Ernst Kummer
- Emmy Noether
- David Hilbert
İlgili konular
Temel eserler
- dummit2004
- atiyah1969
- hungerford1974
Sıkça sorulan sorular
- Bir halkayı neden bir ideal ile bölebilirken, rastgele bir alt halka ile bölemeyiz?
- Bir bölümdeki çarpma, ancak alt küme tüm halka elemanlarıyla çarpımı soğurduğunda iyi tanımlıdır ki bu da tam olarak ideal koşuludur. Sadece halka işlemleri altında kapalı olan bir alt halka, genellikle iyi tanımlanmış bir bölüm halkası vermemektedir.
- Asal ve maksimal idealler nasıl farklılık göstermektedir?
- Bir ideal, bölüm halkası bir tamlık bölgesi olduğunda asal, bir cisim olduğunda ise maksimaldir. Her cisim bir tamlık bölgesi olduğundan, maksimal idealler her zaman asaldır, ancak tersi geçerli değildir; bu fark, halkanın boyutunu yansıtmaktadır.