Parabolik Kısmi Diferansiyel Denklemler
Isı denkleminin prototip olarak kabul edildiği parabolik kısmi diferansiyel denklemler, bir başlangıç durumunun zaman içindeki difüzyonunu ve geri döndürülemez düzleşmesini tanımlamaktadır.
Tanım
Parabolik denklem, u'nun t'ye göre türevinin u'nun Laplasyenine eşit olduğu ısı denklemi üzerine modellenmiş, ikinci dereceden bir evrim denklemidir; bu denklemde bir zaman türevi, uzaysal bir eliptik operatör tarafından dengelenerek çözümün difüzyonel düzleşmesini sağlamaktadır.
Kapsam
Bu konu, ısı ve difüzyon denklemlerini, temel çözümü ve ısı çekirdeğini, başlangıç ve sınır değer problemlerini, parabolik denklemler için maksimum prensibi, sonsuz yayılma hızını ve anlık düzleşmeyi, ayrıca zaman evrimini bir operatör yarı grubu olarak ele alan yarı grup bakış açısını kapsamaktadır.
Temel sorular
- Bir başlangıç dağılımı difüzyon altında nasıl evrimleşir?
- Parabolik denklemler verilerini neden anlık olarak düzleştirir?
- Parabolik problemleri hangi maksimum prensip yönetir?
- Yarı grup çerçevesi zaman evrimini nasıl tanımlar?
Temel kuramlar
- Isı çekirdeği ve temel çözüm
- Isı denkleminin çözümü, başlangıç verilerinin, yayılımı zamanla artan ve difüzyonu açıkça kodlayan Gauss tipi bir ısı çekirdeği ile konvolüsyonudur.
- Düzleşme ve sonsuz yayılma hızı
- Parabolik denklemler, hiperbolik denklemlerin aksine, çözümleri anında sonsuz kez türevlenebilir hale getirir ve herhangi bir yerelleşmiş verinin etkisini etki alanına anında yayar.
- Yarı grup formülasyonu
- Parabolik bir denklem altındaki zaman evrimi, uzaysal operatör tarafından üretilen güçlü sürekli bir yarı grup tanımlayarak soyut varlık ve düzenlilik sonuçları vermektedir.
Klinik önem
Parabolik denklemler, ısı iletimini, moleküler ve popülasyon difüzyonunu, viskoz ve gözenekli ortam akışını ve Black-Scholes denklemi aracılığıyla opsiyon fiyatlandırmasını modellemektedir; ayrıca difüzyon analojisi, görüntü analizindeki ölçek-uzay yöntemlerinin temelini oluşturmaktadır.
Tarihçe
Fourier'nin 1822 tarihli analitik ısı kuramı, hem ısı denklemini hem de kendi adını taşıyan serileri tanıtmıştır. Einstein ve Kolmogorov tarafından geliştirilen Brown hareketleri aracılığıyla difüzyonun olasılıksal yorumu, daha sonra parabolik denklemleri stokastik süreçlere bağlamıştır.
Öne çıkan isimler
- Joseph Fourier
- Albert Einstein
- Andrey Kolmogorov
- Jacques Hadamard
İlgili konular
Temel eserler
- evans2010
- pazy1983
Sıkça sorulan sorular
- Sonsuz yayılma hızı ne anlama gelmektedir?
- Isı denkleminde, başlangıç verilerini herhangi bir yerde anında değiştirmek, prensip olarak, çözümün her yerini etkilemektedir; çünkü Gauss çekirdeği her noktada pozitiftir. Bu matematiksel bir idealizasyondur; gerçek difüzyon hızlıdır ancak keyfi mesafelerde kelimenin tam anlamıyla anlık değildir.
- Isı denklemi neden geriye doğru çalıştırılamaz?
- Difüzyon, ince detayları ve geçmişe dair bilgiyi yok etmektedir; bu nedenle önceki durumları yeniden yapılandırmak, küçük hataları sınırsızca büyütmektedir. Geriye doğru ısı denklemi iyi tanımlanmamış (ill-posed) bir problemdir; bu yüzden bulanıklık giderme ve benzeri ters problemler düzenlileştirme (regularization) gerektirmektedir.