İstatistiksel Sayısal İntegrasyon
İstatistiksel sayısal integrasyon, kapalı formu olmayan integrallerin marjinal olabilirlikleri, sonsal beklentileri ve normalleştirme sabitlerini tanımlayan integralleri değerlendirir.
Tanım
İstatistiksel sayısal integrasyon, özellikle marjinal olabilirlikler ve sonsal momentler olmak üzere, olabilirlik tabanlı ve Bayesci çıkarımda ortaya çıkan integralleri değerlendirmek için deterministik kuadratür kurallarının ve analitik yaklaşımların kullanılmasıdır.
Kapsam
Bu konu, normal rastgele etkileri entegre etmek için Gauss-Hermite kuralları, adaptif kuadratür ve keskin bir tepe noktasının baskın olduğu integraller için Laplace yaklaşımı dahil olmak üzere istatistiksel integrantlara uyarlanmış deterministik kuadratürü kapsamaktadır. Düşük boyutlu deterministik şemalara odaklanarak, Monte Carlo yöntemleri altında ele alınan Monte Carlo integrasyonunu tamamlamaktadır.
Temel sorular
- Rastgele etkiler, Gauss kuadratürü kullanılarak bir olabilirlikten nasıl entegre edilir?
- Adaptif kuadratür, istatistiksel integrantlar için sabit kurallardan ne zaman daha iyi performans gösterir?
- Laplace yaklaşımı, keskin tepeli bir integrantı nasıl kullanır?
- Deterministik kuadratür yöntemleri, Monte Carlo integrasyonuna ne zaman tercih edilir?
Anahtar kavramlar
- Gauss-Hermite kuadratürü
- Adaptif kuadratür
- Laplace yaklaşımı
- Marjinal olabilirlik
- Normalleştirme sabiti
Temel kuramlar
- Rastgele etkiler için Gauss-Hermite kuadratürü
- Karma modellerdeki rastgele etkileri marjinalleştirenler gibi, normal bir yoğunluğa karşı integraller, Gauss-Hermite kuralları ile verimli bir şekilde değerlendirilmektedir; adaptif versiyonlar düğümleri integrantın modu yakınında ortalamaktadır.
- Laplace yaklaşımı
- Keskin tepeli bir integrantı, modunun etrafındaki bir Gauss dağılımı ile yaklaştırmak, integralin kapalı formda bir tahminini vermektedir; bu tahmin, tepe noktasının baskın olduğu durumlarda doğrudur ve birçok hiyerarşik model için hızlı yaklaşık çıkarımın temelini oluşturmaktadır.
Klinik önem
Genelleştirilmiş doğrusal karma modellerin uyarlanması, Bayes faktörlerinin hesaplanması ve sonsal özetlerin elde edilmesi, çözümü zor integrallerin değerlendirilmesini gerektirmektedir; deterministik kuadratür ve Laplace yaklaşımı, düşük boyutlu integraller için simülasyona hızlı ve doğru alternatifler sunmaktadır.
Tarihçe
Klasik kuadratür ve integralleri yaklaştırmak için Laplace yöntemi, istatistikçiler tarafından olabilirlik ve Bayesci hesaplama için uyarlanmış, adaptif Gauss-Hermite kuadratürü ve Laplace yaklaşımı karma ve hiyerarşik modeller için standart araçlar haline gelmiştir.
Öne çıkan isimler
- John Monahan
- Kenneth Lange
- Pierre-Simon Laplace
İlgili konular
Temel eserler
- monahan2011
- lange2010
Sıkça sorulan sorular
- İstatistiksel bir integral için Monte Carlo yerine kuadratürü ne zaman kullanmalıyım?
- Düşük boyutlu ve düzgün integrantlara sahip integraller için deterministik kuadratür çok daha hızlı yakınsar ve deterministik bir sonuç verir. Boyut arttıkça, kuadratür ızgaralarının pratik olmadığı durumlarda Monte Carlo tercih edilebilir hale gelmektedir.
- Laplace yaklaşımı ne için iyidir?
- Tek bir keskin tepe noktasının baskın olduğu integraller için hızlı, kapalı formda bir yaklaşım sunar; örneğin iyi tanımlanmış modellerdeki marjinal olabilirlikler gibi. Integrant, modunun yakınında yaklaşık olarak Gauss dağılımına sahip olduğunda doğrudur.