Çok Boyutlu Ölçekleme
Çok boyutlu ölçekleme, nesneleri düşük boyutlu bir uzaya yerleştirerek, nesneler arası mesafelerin verilen bir farklılık matrisini mümkün olduğunca doğru bir şekilde yeniden üretmesini sağlamaktadır.
Tanım
Çok boyutlu ölçekleme, seçilen bir kayıp kriteri altında, noktalar arasındaki mesafelerin gözlemlenen ikili farklılıkları yaklaşık olarak yansıtmasını sağlayacak şekilde nesneleri düşük boyutlu bir uzayda noktalar olarak gömen bir yöntemler ailesidir.
Kapsam
Bu konu, öklid mesafelerinden çift merkezli bir mesafe matrisinin özdeğer ayrıştırması (eigen-decomposition) yoluyla bir konfigürasyonun tam olarak elde edildiği klasik (metrik) ölçeklemeyi ve bir stres kriterini minimize ederek farklılıkların yalnızca sıra düzenini koruyan ametrik ölçeklemeyi kapsamaktadır. Ayrıca, temel koordinatlar analizi ile ilişkisi ve uyumun değerlendirilmesi de ele alınmaktadır.
Temel sorular
- Yalnızca ikili farklılıklar verildiğinde, nesneler düşük boyutlu bir uzayda nasıl konumlandırılabilir?
- Bir konfigürasyon ne zaman tam olarak elde edilebilir ve uyum ne zaman yinelemeli olarak optimize edilmelidir?
- Bir ölçekleme çözümünün kalitesi nasıl ölçülmektedir?
- Metrik ölçekleme, temel bileşen ve temel koordinatlar analizi ile nasıl bir ilişki içindedir?
Temel kuramlar
- Klasik (metrik) ölçekleme
- Farklılıklar Öklid mesafeleri olduğunda, kareli mesafe matrisinin çift merkezlenmesi, önde gelen özvektörleri koordinatları veren pozitif yarı-tanımlı bir matris üretir ve konfigürasyonu rotasyon ve öteleme (translation) hariç olmak üzere yeniden elde eder.
- Ametrik ölçekleme ve stres minimizasyonu
- Yalnızca farklılıkların sıralaması anlamlı olduğunda, monoton bir dönüşüm ve bir stres fonksiyonunun yinelemeli minimizasyonu, mesafeleri farklılıklarla monotonik olarak ilişkili olan bir konfigürasyonu uydurur.
Klinik önem
Çok boyutlu ölçekleme, algısal yargılar, genetik veya coğrafi mesafeler ve belge veya ağ yakınlıkları gibi benzerlik verilerini görselleştirmek için kullanılmaktadır; bu sayede bir farklılık matrisi yorumlanabilir bir haritaya dönüştürülmektedir.
Tarihçe
Metrik ölçekleme, yirminci yüzyılın ortalarında formüle edilmiş ve Gower tarafından temel koordinatlarla ilişkilendirilmiştir. Kruskal ve Shepard ise monoton stres minimizasyonuna dayalı ametrik ölçeklemeyi tanıtarak yöntemi sıralı farklılık verilerine genişletmişlerdir.
Öne çıkan isimler
- Warren Torgerson
- Joseph Kruskal
- John Gower
İlgili konular
Temel eserler
- mardia1979
- coxcox2001
- borg2005
Sıkça sorulan sorular
- Klasik Çok Boyutlu Ölçekleme (MDS) Temel Bileşen Analizi (PCA) ile nasıl ilişkilidir?
- Farklılıklar verilerden hesaplanan Öklid mesafeleri olduğunda, klasik ölçekleme, merkezlenmiş verilerin temel bileşen analizi ile aynı düşük boyutlu konfigürasyonu vermektedir.
- Çok boyutlu ölçeklemede stres nedir?
- Stres, uydurulan noktalar arası mesafeler ile hedef farklılıklar arasındaki tutarsızlığın normalize edilmiş bir ölçüsüdür; daha düşük stres, daha iyi uyan bir konfigürasyonu işaret etmektedir.