Monte Carlo Entegrasyonu
Monte Carlo entegrasyonu, belirli bir integrali, integrandın rastgele örneklem noktaları üzerindeki ortalaması olarak tahmin etmekte ve entegrasyonu bir beklentinin tahmini olarak yeniden formüle etmektedir.
Tanım
Monte Carlo entegrasyonu, bir integrali, bir örnekleme dağılımı altındaki bir fonksiyonun beklentisi olarak yazarak ve bu beklentiyi, dağılımdan alınan örneklemlerin ortalamasıyla tahmin ederek yapılan bir yaklaşımdır.
Kapsam
Bu konu, bir integralin bir beklenti olarak temsilini, basit (kaba) Monte Carlo tahmincisini ve yansızlığını, kök-n yakınsama hızını ve boyut bağımsızlığını, örneklem standart sapması aracılığıyla hata tahminini ve deterministik kuadratür ile karşılaştırmayı kapsamaktadır. Varyans azaltma iyileştirmeleri, başka yerlerde ele alınan uzantılar olarak değerlendirilmektedir.
Temel sorular
- Keyfi bir integral, örnekleme için uygun bir beklenti olarak nasıl ifade edilir?
- Kaba Monte Carlo tahmincisi neden yansız ve tutarlıdır?
- Kök-n hata oranını ne belirler ve neden boyuttan bağımsızdır?
- Monte Carlo entegrasyonu, deterministik kuadratürü ne zaman geride bırakır?
Anahtar kavramlar
- Kaba Monte Carlo tahmincisi
- Yansızlık
- Standart hata
- Boyut bağımsızlığı
- Örnekleme yoğunluğu
Temel kuramlar
- Beklenti olarak integral
- Bir integrali, integrandın bir örnekleme yoğunluğuna bölünmesiyle elde edilen beklentisi olarak yazmak, entegrasyonu bir ortalamayı tahmin etmeye dönüştürmektedir; bu ortalama, örneklem ortalaması tarafından yansız olarak tahmin edilmektedir.
- Yakınsama hızı ve hata tahmini
- Merkezi limit teoremi, örneklem büyüklüğünün karekökünün tersiyle orantılı, integralin boyutundan bağımsız bir standart hata vermektedir ve toplanan terimlerin ampirik standart sapması kullanılabilir bir hata tahmini sağlamaktadır.
Klinik önem
Monte Carlo entegrasyonu, istatistik ve fizik bilimleri genelinde ortaya çıkan normalleştirme sabitlerini, posterior beklentileri, marjinal olabilirlikleri ve yüksek boyutlu beklentileri hesaplamaktadır; boyut bağımsız hata oranı, ızgara tabanlı kuadratürün uygulanamaz hale geldiği durumlarda onu tercih edilen yöntem haline getirmektedir.
Tarihçe
İntegralleri örnekleme yoluyla tahmin etme fikri, 1940'lardaki Los Alamos hesaplamalarına ve Metropolis ve Ulam'ın 1949 tarihli makalesine dayanmaktadır; hesaplama gücü arttıkça ve istatistikçiler yüksek boyutlarda kuadratüre göre avantajını fark ettikçe rutin bir uygulama haline gelmiştir.
Öne çıkan isimler
- Stanislaw Ulam
- Nicholas Metropolis
- Christian P. Robert
İlgili konular
Temel eserler
- robert2004
- metropolis1949
Sıkça sorulan sorular
- Monte Carlo entegrasyonu ne kadar doğrudur?
- Hatası, örneklem sayısının karekökünün tersi oranında küçülmektedir, bu nedenle örneklem büyüklüğünü dört katına çıkarmak hatayı yarıya indirmektedir. Tahminci ayrıca, integrand değerlerinin örneklem standart sapmasından elde edilen yerleşik bir hata tahmini ile birlikte gelmektedir.
- Standart kuadratüre göre Monte Carlo'yu ne zaman tercih etmeliyim?
- Düşük boyutlu düzgün integraller için deterministik kuadratür genellikle daha hızlı yakınsamaktadır. Monte Carlo, bir ızgaranın maliyetinin üstel olarak arttığı ancak Monte Carlo hata oranının aynı kaldığı yüksek boyutlarda avantaj sağlamaktadır.