Hilbert Uzayları
Hilbert uzayı, Öklid geometrisinin sonsuz boyutlu bir genellemesi olup, açı, ortogonallik ve izdüşüm kavramlarının tam gücünü koruduğu tam bir iç çarpım uzayıdır.
Tanım
Hilbert uzayı, iç çarpımın türettiği normda tam olan bir iç çarpımlı vektör uzayıdır; iç çarpım, ortogonal izdüşümü ve ortonormal açılımı mümkün kılan bir uzunluk ve açı geometrisi sağlamaktadır.
Kapsam
Bu konu, iç çarpımı ve onun türettiği normu, Cauchy-Schwarz ve paralelkenar özdeşliklerini, ortogonalliği ve ortogonal tümleyenleri, kapalı dışbükey kümeler üzerine izdüşüm teoremini, ortonormal tabanları ve Parseval özdeşliğini, ayrıca bir Hilbert uzayını kendi dualiyle özdeşleştiren Riesz temsil teoremini kapsamaktadır.
Temel sorular
- Bir iç çarpım, sonsuz boyutlu bir uzayı geometriyle nasıl donatmaktadır?
- Her kapalı dışbükey küme neden tek bir en yakın noktaya sahiptir ve bu izdüşüm ne sağlamaktadır?
- Ortonormal tabanlar, her vektörü genelleştirilmiş bir Fourier serisi olarak nasıl temsil etmektedir?
- Bir Hilbert uzayı neden doğal olarak kendi dualiyle özdeşleştirilmektedir?
Temel kuramlar
- İzdüşüm teoremi
- Bir Hilbert uzayının her boş olmayan kapalı dışbükey alt kümesi, belirli bir vektöre en yakın tek bir nokta içermektedir ve kapalı bir alt uzaya ortogonal izdüşüm, uzayı alt uzay ve onun ortogonal tümleyeni olarak ikiye ayırmaktadır.
- Riesz temsil teoremi
- Bir Hilbert uzayındaki her sınırlı doğrusal fonksiyonel, tek bir vektörle iç çarpım yoluyla verilmektedir; bu sayede uzay, kendi dualiyle izometrik olarak özdeşleştirilmektedir ve bu durum, uzayın analitik kolaylığının önemli bir kaynağını oluşturmaktadır.
Klinik önem
Hilbert uzayları, kuantum mekaniğinin durum uzaylarıdır; burada ortonormal açılım ve izdüşüm, ölçümü ve süperpozisyonu ifade etmektedir. Ayrıca, en küçük kareler yaklaşımının, Fourier ve dalgacık analizinin, sinyal işlemenin ve modern makine öğreniminin merkezinde yer alan yeniden üretilebilir çekirdek uzaylarının temelini oluşturmaktadır.
Tarihçe
Bu yapı, yirminci yüzyılın başlarında Hilbert'in integral denklemleri ve sonsuz kuadratik formlar üzerine yaptığı çalışmalardan ortaya çıkmıştır; von Neumann, 1920'lerde kuantum mekaniğini formüle ederken soyut aksiyomatik tanımı vermiş ve Hilbert uzayının modern kavramını sabitlemiştir.
Öne çıkan isimler
- David Hilbert
- John von Neumann
- Frigyes Riesz
İlgili konular
Temel eserler
- conway1985
- stein2005real
Sıkça sorulan sorular
- Bir Hilbert uzayı, bir Banach uzayından nasıl farklılaşmaktadır?
- Bir Hilbert uzayı, normunu türeten ve geometri, açılar, ortogonallik ve izdüşüm sağlayan bir iç çarpım taşımaktadır; oysa genel bir Banach uzayı yalnızca bir norma sahiptir. Her Hilbert uzayı bir Banach uzayıdır, ancak tersi her zaman doğru değildir.
- Ortonormal taban nedir?
- Bu, karşılıklı olarak dik birim vektörlerden oluşan maksimal bir kümedir; öyle ki uzayın her elemanı, Fourier serilerinin fonksiyonları sinüs ve kosinüs cinsinden açma şeklini genelleştirerek, bu vektörler üzerine olan izdüşümlerinin toplamı olarak ifade edilmektedir.