İki düğüm ne zaman aynı kabul edilir?

Biri, kesilmeden uzay içinde sürekli olarak diğerine dönüştürülebildiğinde — resmi olarak, ortam izotopisi (ambient isotopy) ile ilişkili olduklarında veya eşdeğer olarak, diyagramları sonlu bir Reidemeister hareketleri dizisiyle farklılaştığında.

Tüm düğümleri sınıflandıran tek bir değişmez var mıdır?

Hayır, tam ve kolayca hesaplanabilir tek bir değişmez bilinmemektedir. Farklı değişmezler farklı özellikleri tespit etmekte ve Jones polinomu gibi güçlü olanlar bile tüm farklı düğümleri ayırt etmede yetersiz kalmaktadır; bu durum sınıflandırma problemini açık bırakmaktadır.

Düğüm Kuramı

Düğüm kuramı, çemberlerin üç boyutlu uzaya nasıl gömülebileceğini incelemekte, iki düğümün ne zaman aynı olduğuna karar veren değişmezleri aramakta ve düşük boyutların incelikli topolojisini yakalamaktadır.

PaperMind ile konu bulYakındaMakale ve konu bul

Tools & resources

Slaytları indir

Learn & explore

VideoYakında

Tanım

Düğüm kuramı, bir veya daha fazla çemberin üç boyutlu uzaya ortam izotopisine (ambient isotopy) kadar gömülmelerini inceleyen ve bunları hesaplanabilir değişmezler aracılığıyla sınıflandıran düşük boyutlu topolojinin bir dalıdır.

Kapsam

Bu alan, düğümleri ve bağlantıları (links) çemberlerin uzaydaki gömümleri olarak, bunların diyagramlarını ve denklik oluşturan Reidemeister hareketlerini, ayrıca onları ayırt etmek için kullanılan değişmezler hiyerarşisini kapsamaktadır. Bu hiyerarşi, düğüm grubu, Seifert cinsi (genus) ve Alexander polinomu gibi klasik değişmezlerden, Jones ve HOMFLY polinomları gibi kuantum değişmezlerine ve bunların kategorifikasyonlarına kadar uzanmaktadır. Bağlantıları (links) kapanışlar aracılığıyla sunan örgü grupları (braid groups) ile üç ve dört boyutlu topolojiye olan bağlantılar da bu kapsamda yer alırken, genel cebirsel-topoloji mekanizmaları ayrı bir alanda incelenmektedir.

Alt konular

Temel sorular

İki düğüm diyagramı ne zaman denktir ve Reidemeister hareketleri buna nasıl bir yanıt verir?
Hangi değişmezler düğümleri ayırt edebilir ve bunlar ne kadar eksiksiz veya eksiktir?
Örgü grubu (braid group) ve Temperley-Lieb cebiri gibi cebirsel yapılar düğüm değişmezlerini nasıl üretir?
Üç boyuttaki düğüm kuramı, dört-manifoldların topolojisiyle nasıl bir bağlantı kurar?

Anahtar kavramlar

Düğümler, bağlantılar (links) ve ortam izotopisi (ambient isotopy)
Düğüm diyagramları ve Reidemeister hareketleri
Klasik değişmezler: düğüm grubu, cins (genus), Alexander polinomu
Kuantum değişmezleri: Jones ve HOMFLY polinomları
Örgü grupları (braid groups) ve örgü kapanışları (braid closures)

Klinik önem

Düğüm kuramı, DNA'nın topolojisini ve topoizomeraz enzimlerinin etkisini, Jones polinomunun arkasındaki istatistiksel mekaniği ve düğüm değişmezlerinin fiziksel nicelikler olarak ortaya çıktığı kuantum hesaplama ve topolojik alan kuramındaki soruları aydınlatmaktadır.

Tarihçe

Tait'in 19. yüzyıldaki düğüm tablolarına dayanarak ortaya çıkan konu, 1920'ler ve 1930'larda Reidemeister hareketleri ve Alexander polinomu ile sağlamlık kazanmıştır. 1984'te Jones'un operatör cebirlerinden yeni bir polinom değişmezi keşfetmesiyle dönüşüme uğramış ve böylece kuantum değişmezleri çağını açmıştır.

Öne çıkan isimler

Kurt Reidemeister
John Conway
Vaughan Jones

İlgili konular

Temel eserler

lickorish1997
rolfsen1976

Sıkça sorulan sorular

İki düğüm ne zaman aynı kabul edilir?: Biri, kesilmeden uzay içinde sürekli olarak diğerine dönüştürülebildiğinde — resmi olarak, ortam izotopisi (ambient isotopy) ile ilişkili olduklarında veya eşdeğer olarak, diyagramları sonlu bir Reidemeister hareketleri dizisiyle farklılaştığında.
Tüm düğümleri sınıflandıran tek bir değişmez var mıdır?: Hayır, tam ve kolayca hesaplanabilir tek bir değişmez bilinmemektedir. Farklı değişmezler farklı özellikleri tespit etmekte ve Jones polinomu gibi güçlü olanlar bile tüm farklı düğümleri ayırt etmede yetersiz kalmaktadır; bu durum sınıflandırma problemini açık bırakmaktadır.