Diferansiyellenebilir Manifoldlar
Diferansiyellenebilir manifold, yerel olarak Öklid uzayına benzeyen ve düzgün koordinat değişimleriyle bir araya getirilen bir uzaydır; bu sayede eğri uzaylarda kalkülüs yapılabilmektedir.
Tanım
n boyutlu bir diferansiyellenebilir (düzgün) manifold, geçiş haritaları sonsuz kez diferansiyellenebilir olan, n boyutlu Öklid uzayının açık alt kümelerine yönelik bir çizelge atlası ile donatılmış, ikinci sayılabilir bir Hausdorff topolojik uzayıdır.
Kapsam
Bu konu, düzgün geçiş haritalarına sahip çizelge atlasları aracılığıyla manifoldları tanımlamakta, düzgün yapıları geliştirmekte ve temel yapıları ele almaktadır: alt manifoldlar, seviye kümelerini manifold olarak veren rank ve düzenli değer teoremleri, birim bölüşümleri ve Öklid uzayına gömülmeler (Whitney gömme teoremi). Ayrıca topolojik ve düzgün yapılar arasındaki ayrımı, egzotik düzgün yapıların şaşırtıcı varlığını ve uyumlu grup işlemleri olan manifoldlar olarak Lie gruplarını tanıtmaktadır.
Temel sorular
- Çizelgeler ve düzgün geçiş haritaları, kalkülüsün eğri bir uzaya net bir şekilde nasıl aktarılmasını sağlamaktadır?
- Düzgün bir haritanın seviye kümesi ne zaman doğal bir manifold yapısı taşımaktadır?
- Her düzgün manifold neden bir Öklid uzayına gömülebilmektedir?
- Tek bir topolojik manifold, eşdeğer olmayan düzgün yapıları nasıl kabul edebilmektedir?
Anahtar kavramlar
- Çizelgeler, atlaslar ve düzgün geçiş haritaları
- Düzgün yapılar ve alt manifoldlar
- Düzenli değer teoremi ve manifold olarak seviye kümeleri
- Birim bölüşümleri ve Whitney gömme teoremi
- Topolojik ve düzgün yapı ile egzotik manifoldlar
Klinik önem
Manifoldlar, modern geometri ve fiziğin evrensel sahnesidir: mekanikteki konfigürasyon ve faz uzayları, genel görelilikteki uzay-zaman ve simetrideki Lie grupları manifoldlardır; Milnor tarafından ortaya çıkarılan düzgün yapı incelikleri ise yirminci yüzyıl topolojisini yeniden şekillendirmiştir.
Tarihçe
Riemann'ın 1854'teki manifold kavramı, 20. yüzyıl başlarındaki atlaslar aracılığıyla yapılan tanımla kesinleştirilmiştir; Whitney'nin 1930'lardaki gömme teoremleri soyut kuramı temellendirmiş ve Milnor'un 1956'da egzotik 7-küreleri keşfi, düzgün yapının topolojinin ötesinde bilgi taşıdığını ortaya koymuştur.
Öne çıkan isimler
- Bernhard Riemann
- Hassler Whitney
- John Milnor
İlgili konular
Temel eserler
- lee2012
- milnor1956
Sıkça sorulan sorular
- Bir manifoldu sadece topolojik olmaktan ziyade diferansiyellenebilir kılan nedir?
- Topolojik bir manifold sadece Öklid uzayına çizelgeler gerektirirken; diferansiyellenebilir bir manifold, örtüşen çizelgeler arasındaki geçiş haritalarının düzgün olmasını ek olarak gerektirmektedir, böylece manifold üzerindeki düzgün bir fonksiyon kavramı iyi tanımlanmış olmaktadır.
- Egzotik küre nedir?
- Standart küreye homeomorfik ancak diferansiyomorfik olmayan bir manifolddur; Milnor'un 7-küre üzerindeki bu tür yapıları keşfi, düzgün yapıların temel topoloji tarafından belirlenmediğini göstermiştir.