Homotopi Kuramı
Homotopi kuramı, uzayları sürekli deformasyonlar açısından inceleyen, temel grubu daha yüksek homotopi gruplarına genelleştiren ve haritaları fibrasyonlar, kofibrasyonlar ile CW yaklaşımı aracılığıyla düzenleyen bir alandır.
Tanım
Homotopi kuramı, topolojik uzayları ve haritaları homotopiye — sürekli deformasyona — kadar inceleyen, daha yüksek homotopi gruplarını (kürelerden gelen haritaların homotopi sınıfları) ve bu değişmezleri işlenebilir kılan fibrasyon ve CW komplekslerinin yapılarını kullanan bir matematik dalıdır.
Kapsam
Bu konu, boyutu en az iki olduğunda değişmeli olan daha yüksek homotopi gruplarını tanımlamakta ve bunları hesaplayan ve ilişkilendiren araçları geliştirmektedir: fibrasyonlar ve bir fibrasyonun uzun kesin dizisi, homotopi ve homolojiyi birbirine bağlayan Hurewicz teoremi, CW komplekslerinin zayıf denklikleri üzerine Whitehead teoremi ve tıkanıklık kuramı (obstruction theory). Ayrıca, küresel uzayların homotopi grupları problemini (büyük ölçüde açık bir problemdir), kohomolojiyi temsil eden Eilenberg-MacLane uzaylarını ve homotopi kuramını soyut bir şekilde çerçeveleyen model-kategorik bakış açısını incelemektedir.
Temel sorular
- Daha yüksek homotopi grupları temel grubu nasıl genişletir ve neden boyut birden büyük olduğunda değişmeli olurlar?
- Bir fibrasyonun uzun kesin dizisi, homotopi gruplarını daha basit parçalardan nasıl hesaplar?
- Hurewicz teoremi, ilk sıfır olmayan homotopi grubu ve bunun homoloji ile ilişkisi hakkında ne söyler?
- Küresel uzayların homotopi grupları neden bu kadar zordur ve onları hangi yapı düzenler?
Anahtar kavramlar
- Daha yüksek homotopi grupları ve değişmeli yapıları
- Fibrasyonlar, kofibrasyonlar ve bir fibrasyonun uzun kesin dizisi
- Hurewicz teoremi ve Whitehead teoremi
- Eilenberg-MacLane uzayları ve kohomolojinin temsil edilebilirliği
- CW yaklaşımı ve tıkanıklık kuramı (obstruction theory)
Klinik önem
Homotopi kuramı, modern topolojinin soyut omurgasını oluşturmakta; kararlı fenomenlerin dilini, demetler ve ayar kuramları için sınıflandırıcı uzayları ve cebir, cebirsel geometri ile matematiksel fizik genelinde günümüzde kullanılan homotopik yöntemleri sağlamaktadır.
Tarihçe
Hurewicz, 1930'larda daha yüksek homotopi gruplarını tanıtmıştır; Serre'nin spektral dizisi ve Whitehead ile diğerlerinin çalışmaları hesaplamayı mümkün kılmıştır. Quillen'in model kategorileri (1967) ise homotopi kuramını topolojinin çok ötesinde uygulanabilir bir çerçeveye soyutlamıştır.
Öne çıkan isimler
- Witold Hurewicz
- J. H. C. Whitehead
- Daniel Quillen
İlgili konular
Temel eserler
- hatcher2002
- bredon1993
Sıkça sorulan sorular
- Daha yüksek homotopi grupları neden değişmeli iken temel grup değişmeli olmak zorunda değildir?
- Boyut en az iki olduğunda, Eckmann-Hilton argümanı aracılığıyla iki sferoidi birbirinin yanından geçirecek kadar yer vardır, bu da değişmeliği zorlar; boyut bir olduğunda ise döngüler bu şekilde birbirinin yanından kaydırılamaz.
- Küresel uzayların homotopi grupları biliniyor mu?
- Sadece kısmen. Büyük çabalara rağmen, bunlar yalnızca belirli boyut aralıklarında hesaplanabilmiş olup, genel olarak belirlenmeleri topolojinin en derin açık problemlerinden biri olmaya devam etmektedir.