Reidemeister hareketleri neden bu kadar önemlidir?

Reidemeister, iki diyagramın aynı düğümü tam olarak, birinin diğerinden bu üç yerel hareketle elde edilebildiği zaman temsil ettiğini kanıtlamıştır; bu nedenle, bir niceliğin bu hareketlerle değişmediğini kontrol etmek, onun gerçek bir invariant olduğunu kanıtlamaktadır.

Bir düğümün Seifert cinsi nedir?

Sınırı düğüm olan uzaydaki tüm yönlendirilebilir yüzeyler arasındaki en küçük cinstir; düğümün karmaşıklığını ölçen ve bağlantılı toplam (connected sum) altında toplanabilir olan bir invarianttır.

Düğüm İnvariantları

Düğüm invariantı, bir düğüm deforme edildiğinde değişmeyen bir niceliktir ve iki düğümün gerçekten farklı olduğunu kanıtlamak için bir araç sağlamaktadır.

PaperMind ile konu bulYakındaMakale ve konu bul

Tools & resources

Slaytları indir

Learn & explore

VideoYakında

Tanım

Düğüm invariantı, eşdeğer düğümler üzerinde eşit değerler alan düğümler üzerindeki bir fonksiyondur; böylece farklı değerler, iki düğümün ortam-izotopik (ambient-isotopic) olmadığını doğrulamaktadır. Eşdeğer olarak, üç Reidemeister hareketi altında korunan herhangi bir niceliktir.

Kapsam

Bu konu, Reidemeister hareketleri altında değişmeyen herhangi bir niceliğin bir düğüm invariantı olduğu ilkesini ele almaktadır ve klasik invariantları incelemektedir: düğüm grubu (tümleyenin temel grubu), Seifert yüzeyi ve Seifert cinsi, kesişim sayısı, çözülme sayısı (unknotting number), köprü sayısı ve üç renklendirilebilirlik (tricolorability). Ayrıca Seifert matrisleri ve imzayı, bireysel invariantların sınırlamalarını ve invariantların kiraliteyi tespit etme ile yüzeysel olarak benzer görünen düğümleri ayırt etmedeki rolünü de işlemektedir.

Temel sorular

Reidemeister hareketleri, invariantlık sorusunu sonlu, kontrol edilebilir bir koşula nasıl indirgemektedir?
Düğüm grubu, cins, imza gibi hangi geometrik ve cebirsel invariantlar bir düğümün belirgin özelliklerini yakalamaktadır?
Bir invariant neden bazı düğümleri ayırt edebilirken diğerlerini ayıramamaktadır?
İnvariantlar kiralite ve çözülme sayısı (unknotting number) gibi özellikleri nasıl tespit etmektedir?

Anahtar kavramlar

Reidemeister hareketleri ve invariantlık
Düğüm grubu ve düğüm tümleyeni
Seifert yüzeyleri, Seifert cinsi ve Seifert matrisi
Kesişim, çözülme (unknotting) ve köprü sayıları
İmza ve üç renklendirilebilirlik (tricolorability)

Klinik önem

Düğüm invariantları, düğüm kuramını uygulanabilir kılan unsurlardır: moleküler biyolojide DNA topoizomerlerini ayırt etmekte ve düğümler ile bağlantılar (links) üzerindeki cerrahi (surgery) yoluyla üç-manifoldları sınıflandırmada kullanılan engelleri sağlamaktadırlar.

Tarihçe

Reidemeister, 1927'de üç hareketinin düğüm eşdeğerliğini ürettiğini ve invariantlığı yerel kontrollere indirgediğini kanıtlamıştır; Seifert'in geren yüzeyler (spanning surfaces) yapısı (1934) cinsi ve imzayı sağlamıştır ve bu klasik invariantlar, polinom çağından önce konunun omurgasını oluşturmuştur.

Öne çıkan isimler

Kurt Reidemeister
Herbert Seifert
Dale Rolfsen

İlgili konular

Temel eserler

lickorish1997
rolfsen1976

Sıkça sorulan sorular

Reidemeister hareketleri neden bu kadar önemlidir?: Reidemeister, iki diyagramın aynı düğümü tam olarak, birinin diğerinden bu üç yerel hareketle elde edilebildiği zaman temsil ettiğini kanıtlamıştır; bu nedenle, bir niceliğin bu hareketlerle değişmediğini kontrol etmek, onun gerçek bir invariant olduğunu kanıtlamaktadır.
Bir düğümün Seifert cinsi nedir?: Sınırı düğüm olan uzaydaki tüm yönlendirilebilir yüzeyler arasındaki en küçük cinstir; düğümün karmaşıklığını ölçen ve bağlantılı toplam (connected sum) altında toplanabilir olan bir invarianttır.