ความเสี่ยงและการยอมรับได้

ฟังก์ชันความเสี่ยงจะบันทึกค่าความเสียหายที่คาดว่าจะเกิดขึ้นของกฎเกณฑ์หนึ่งๆ ที่ทุกค่าพารามิเตอร์; การยอมรับได้จะพิจารณาว่ามีกฎเกณฑ์อื่นใดที่ทำได้ดีเท่ากันในทุกกรณีและดีกว่าในบางกรณีหรือไม่

Definition

ฟังก์ชันความเสี่ยงของกฎการตัดสินใจคือค่าความเสียหายที่คาดว่าจะเกิดขึ้นในรูปของฟังก์ชันของพารามิเตอร์; กฎเกณฑ์หนึ่งจะยอมรับไม่ได้หากมีกฎเกณฑ์อื่นที่มีความเสี่ยงไม่มากกว่าสำหรับทุกค่าพารามิเตอร์และน้อยกว่าอย่างเคร่งครัดสำหรับอย่างน้อยหนึ่งค่า และจะยอมรับได้หากไม่มีกฎเกณฑ์ดังกล่าวอยู่

Scope

หัวข้อนี้ครอบคลุมถึงฟังก์ชันความเสียหายและฟังก์ชันความเสี่ยง, การจัดอันดับบางส่วนของกฎเกณฑ์โดยการครอบงำด้วยความเสี่ยง, คำจำกัดความของกฎเกณฑ์ที่ยอมรับได้และยอมรับไม่ได้, การที่ค่าเฉลี่ยตัวอย่างในสามมิติขึ้นไปไม่สามารถยอมรับได้เป็นตัวอย่างหลัก, วิธีการพิสูจน์การยอมรับได้ผ่านการให้เหตุผลแบบเบย์และลิมิตติง-เบย์ และเอกลักษณ์ของสไตน์, และความสัมพันธ์ระหว่างการยอมรับได้กับการไม่ลำเอียง

Core questions

• ฟังก์ชันความเสี่ยงสรุปประสิทธิภาพของกฎเกณฑ์อย่างไรในพื้นที่พารามิเตอร์?
• การที่กฎเกณฑ์หนึ่งครอบงำอีกกฎเกณฑ์หนึ่งหมายความว่าอย่างไร และด้วยเหตุนี้กฎเกณฑ์จึงไม่สามารถยอมรับได้หมายความว่าอย่างไร?
• เหตุใดค่าเฉลี่ยตัวอย่างจึงไม่สามารถยอมรับได้ในสามมิติขึ้นไปภายใต้การสูญเสียกำลังสอง?
• การให้เหตุผลแบบเบย์และลิมิตติง-เบย์ ถูกนำมาใช้เพื่อพิสูจน์การยอมรับได้อย่างไร?

Key theories

การครอบงำด้วยความเสี่ยงและการยอมรับได้

กฎเกณฑ์หนึ่งจะยอมรับไม่ได้เมื่อกฎเกณฑ์อื่นมีความเสี่ยงไม่มากกว่าอย่างสม่ำเสมอและน้อยกว่าอย่างเคร่งครัดในบางกรณี; กฎเกณฑ์ที่ยอมรับได้คือกฎเกณฑ์ที่ไม่สามารถปรับปรุงให้ดีขึ้นได้โดยรวม ซึ่งเป็นข้อกำหนดขั้นต่ำสุดของความเหมาะสมที่สุด

การไม่สามารถยอมรับได้ของสไตน์

ภายใต้การสูญเสียกำลังสอง ตัวประมาณค่าปกติของค่าเฉลี่ยปกติหลายตัวแปรไม่สามารถยอมรับได้ในสามมิติขึ้นไป โดยถูกครอบงำโดยตัวประมาณค่าแบบหดตัว ซึ่งเป็นผลลัพธ์ที่พิสูจน์ได้โดยใช้เอกลักษณ์ของสไตน์

Clinical relevance

การตระหนักว่าตัวประมาณค่าที่คุ้นเคยอาจยอมรับไม่ได้ เป็นเหตุผลที่สนับสนุนการใช้การหดตัว (shrinkage) และการทำให้เป็นระเบียบ (regularization) ในการทำนายที่มีมิติสูง ซึ่งการดึงค่าประมาณเข้าสู่จุดศูนย์กลางร่วมกันสามารถลดความเสี่ยงโดยรวมได้อย่างเป็นที่ประจักษ์ เมื่อเทียบกับการพิจารณาแต่ละพิกัดแยกกัน

History

วาลด์ได้นำเสนอแนวคิดเรื่องความเสี่ยงและการยอมรับได้ในช่วงทศวรรษ 1940 การพิสูจน์ของสไตน์ในปี 1956 ที่แสดงให้เห็นว่าตัวประมาณค่าเฉลี่ยปกติหลายตัวแปรไม่สามารถยอมรับได้ในสามมิติขึ้นไป ได้พลิกความเข้าใจเดิม และด้วยตัวประมาณค่าเจมส์-สไตน์ในปี 1961 ทำให้การยอมรับได้กลายเป็นประเด็นสำคัญ

Key figures

• Abraham Wald
• Charles Stein
• David Blackwell
• James O. Berger

Seminal works

• lehmannCasella1998

Frequently asked questions

หากกฎเกณฑ์หนึ่งยอมรับได้ แสดงว่าเป็นกฎเกณฑ์ที่ดีที่สุดหรือไม่?

ไม่ การยอมรับได้เพียงแค่ตัดความเป็นไปได้ที่จะถูกเอาชนะได้โดยรวมออกไปเท่านั้น; กฎเกณฑ์ที่ยอมรับได้จำนวนมากอาจอยู่ในระดับปานกลาง และกฎเกณฑ์ที่ดีอาจไม่สามารถยอมรับได้ ดังนั้นการยอมรับได้จึงเป็นเงื่อนไขที่จำเป็นแต่ยังห่างไกลจากเงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับความเหมาะสมที่สุด

เหตุใดมิติที่สามจึงมีความสำคัญต่อผลลัพธ์ของสไตน์?

การที่ค่าเฉลี่ยตัวอย่างไม่สามารถยอมรับได้ภายใต้การสูญเสียกำลังสองนั้นเป็นจริงในสามมิติขึ้นไป แต่ไม่เป็นจริงในหนึ่งหรือสองมิติ; ต่ำกว่าสามมิติ การหดตัวไม่สามารถปรับปรุงค่าเฉลี่ยตัวอย่างให้ดีขึ้นได้โดยรวม