ชุดจุลภาค (Microcanonical Ensemble)

ชุดจุลภาคอธิบายระบบโดดเดี่ยวที่มีพลังงาน ปริมาตร และจำนวนอนุภาคคงที่ โดยกำหนดความน่าจะเป็นที่เท่ากันให้กับทุกสถานะจุลภาคที่เข้าถึงได้

Definition

ชุดจุลภาคคือการแจกแจงความน่าจะเป็นสมดุลสำหรับระบบโดดเดี่ยวที่มีพลังงาน ปริมาตร และจำนวนอนุภาคคงที่ ซึ่งทุกสถานะจุลภาคที่เข้ากันได้กับข้อจำกัดเหล่านี้มีความน่าจะเป็นเท่ากัน

Scope

หัวข้อนี้ครอบคลุมสมมติฐานของความน่าจะเป็นเท่ากันล่วงหน้า (equal a priori probabilities) ความหนาแน่นของสถานะและปริมาตรในปริภูมิเฟส (phase-space volume) นิยามของเอนโทรปีตามโบลต์ซมันน์ในรูปของลอการิทึมของจำนวนสถานะจุลภาคที่เข้าถึงได้ และการหาสูตรอุณหภูมิ ความดัน และศักย์เคมีในรูปของอนุพันธ์ของเอนโทรปี นอกจากนี้ยังรวมถึงแนวทางจากชุดจุลภาคไปยังชุดคาโนนิคัล (canonical ensemble) ผ่านอ่างความร้อน (heat bath)

Core questions

• เหตุใดความน่าจะเป็นเท่ากันล่วงหน้าจึงเป็นสมมติฐานที่เป็นธรรมชาติสำหรับระบบโดดเดี่ยว?
• การนับสถานะจุลภาคที่เข้าถึงได้กำหนดเอนโทรปีได้อย่างไร?
• อุณหภูมิ ความดัน และศักย์เคมีเกิดขึ้นได้อย่างไรในฐานะอนุพันธ์ของเอนโทรปี?
• การเชื่อมต่อกับอ่างเก็บขนาดใหญ่นำไปสู่ชุดคาโนนิคัลจากชุดจุลภาคได้อย่างไร?

Key concepts

• สมมติฐานความน่าจะเป็นเท่ากันล่วงหน้า (Equal a priori probability postulate)
• ความหนาแน่นของสถานะและปริมาตรในปริภูมิเฟส (Density of states and phase-space volume)
• เอนโทรปีของโบลต์ซมันน์ S = k log W
• อนุพันธ์ของเอนโทรปีและตัวแปรเข้มข้น (intensive variables)
• ระบบโดดเดี่ยวที่พลังงานคงที่

Key theories

เอนโทรปีของโบลต์ซมันน์สำหรับระบบโดดเดี่ยว

เอนโทรปีของระบบโดดเดี่ยวเท่ากับค่าคงที่ของโบลต์ซมันน์คูณด้วยลอการิทึมของจำนวนสถานะจุลภาคที่สอดคล้องกับพลังงานคงที่ของระบบ ซึ่งปริมาณทางเทอร์โมไดนามิกส์ทั้งหมดสามารถหาได้จากอนุพันธ์ของเอนโทรปี

Clinical relevance

ชุดจุลภาคเป็นรากฐานแนวคิดของกลศาสตร์สถิติสมดุล และเป็นสภาพแวดล้อมที่เหมาะสมสำหรับการจำลองพลวัตระดับโมเลกุล (molecular dynamics simulations) ของระบบโดดเดี่ยว ซึ่งพลังงานรวมจะถูกอนุรักษ์ไว้

History

คำอธิบายแบบจุลภาคพัฒนามาจากการตีความเชิงการจัดหมู่ของเอนโทรปีโดยโบลต์ซมันน์ในช่วงทศวรรษ 1870 และถูกจัดระบบภายในกรอบชุดของกิบบส์ (Gibbs's ensemble framework) กลายเป็นจุดเริ่มต้นที่ชุดอื่นๆ ถูกพัฒนาขึ้น

Key figures

• Ludwig Boltzmann
• J. Willard Gibbs

Seminal works

• boltzmann1877
• pathria2011

Frequently asked questions

เหตุใดจึงสมมติว่าทุกสถานะจุลภาคที่เข้าถึงได้มีความน่าจะเป็นเท่ากัน?

สำหรับระบบโดดเดี่ยวที่อยู่ในสมดุล จะไม่มีข้อมูลที่สามารถแยกแยะสถานะจุลภาคที่เข้ากันได้แต่ละสถานะออกจากกันได้ ดังนั้นสมมติฐานที่มีอคติน้อยที่สุดและมีแรงจูงใจทางพลวัตคือการถือว่าทุกสถานะมีความน่าจะเป็นเท่ากัน ซึ่งสมมติฐานนี้สามารถอธิบายกฎทางเทอร์โมไดนามิกส์ที่เป็นที่รู้จักได้