เมโทรโพลิส มอนติคาร์โลในฟิสิกส์

อัลกอริทึมเมโทรโพลิสเป็นหัวใจสำคัญของการจำลองทางฟิสิกส์เชิงสถิติ: โดยการยอมรับหรือปฏิเสธการเคลื่อนที่ที่เสนอโดยพิจารณาจากค่าใช้จ่ายด้านพลังงาน อัลกอริทึมนี้จะสร้างลูกโซ่มาร์คอฟที่สุ่มตัวอย่างการจัดเรียงด้วยความน่าจะเป็นของโบลต์ซมันน์ที่ถูกต้อง

Definition

อัลกอริทึมเมโทรโพลิสเป็นวิธีการมอนติคาร์โลแบบลูกโซ่มาร์คอฟที่สร้างลำดับของการจัดเรียงซึ่งมีการกระจายตัวแบบจำกัดเป็นกลุ่มแคนอนิกัล โดยการเสนอการเปลี่ยนแปลงเฉพาะที่และยอมรับการเปลี่ยนแปลงเหล่านั้นด้วยความน่าจะเป็นที่กำหนดโดยปัจจัยโบลต์ซมันน์ของการเปลี่ยนแปลงพลังงาน

Scope

หัวข้อนี้ครอบคลุมอัลกอริทึมเมโทรโพลิสและเมโทรโพลิส-เฮสติงส์ที่ประยุกต์ใช้กับระบบทางกายภาพ: กฎการยอมรับ, สมดุลละเอียดและการแปรสภาพทั่วถึง, การปรับสมดุลและการหาความสัมพันธ์ในตัวเอง, และการประมาณค่าเฉลี่ยทางความร้อนและข้อผิดพลาดทางสถิติของค่าเหล่านั้น เป็นวิธีการสุ่มตัวอย่างพื้นฐานที่รองรับพื้นที่มอนติคาร์โลที่กว้างขึ้น

Core questions

• ความน่าจะเป็นในการยอมรับขึ้นอยู่กับการเปลี่ยนแปลงพลังงานของการเคลื่อนที่ที่เสนออย่างไร?
• เหตุใดสมดุลละเอียดจึงรับประกันการกระจายตัวแบบคงที่ที่ถูกต้อง?
• การปรับสมดุลและเวลาการหาความสัมพันธ์ในตัวเองได้รับการวินิจฉัยและพิจารณาอย่างไร?
• ข้อผิดพลาดทางสถิติของค่าเฉลี่ยมอนติคาร์โลจากตัวอย่างที่มีความสัมพันธ์กันประมาณค่าได้อย่างไร?

Key theories

สมดุลละเอียดและภาวะคงที่

การเลือกความน่าจะเป็นในการยอมรับที่สอดคล้องกับสมดุลละเอียดเมื่อเทียบกับการกระจายตัวของโบลต์ซมันน์ทำให้มั่นใจได้ว่าการกระจายตัวนั้นคงที่ภายใต้ลูกโซ่มาร์คอฟ ดังนั้นค่าเฉลี่ยในระยะยาวจึงลู่เข้าสู่ค่าคาดหวังทางความร้อน

การขยายความของเมโทรโพลิส-เฮสติงส์

เฮสติงส์ได้ขยายกฎการยอมรับไปยังการกระจายตัวของการเสนอที่ไม่สมมาตร ซึ่งเป็นการขยายอัลกอริทึมให้กว้างขึ้นนอกเหนือจากการเคลื่อนที่เฉพาะที่แบบสมมาตร ในขณะที่ยังคงรักษาการกระจายตัวแบบคงที่เป้าหมายไว้

การหาความสัมพันธ์ในตัวเองและการประมาณค่าความผิดพลาด

ตัวอย่างเมโทรโพลิสที่ต่อเนื่องกันมีความสัมพันธ์กัน ดังนั้นจำนวนตัวอย่างอิสระที่มีประสิทธิภาพจึงลดลงตามเวลาการหาความสัมพันธ์ในตัวเอง ซึ่งต้องวัดเพื่อกำหนดแถบข้อผิดพลาดที่ถูกต้องให้กับค่าเฉลี่ยทางความร้อน

Clinical relevance

การสุ่มตัวอย่างแบบเมโทรโพลิสใช้ในการคำนวณปริมาณทางอุณหพลศาสตร์ของแบบจำลองสปินบนโครงตาข่าย, ของไหลและพอลิเมอร์, ระบุการเปลี่ยนเฟส, และทำหน้าที่เป็นกลไกหลักในการจำลองโมเลกุลแบบมอนติคาร์โลและแผนการควอนตัมมอนติคาร์โลหลายรูปแบบ

History

อัลกอริทึมนี้ถูกนำเสนอในปี 1953 เพื่อคำนวณสมการสถานะของของไหลจานแข็งสองมิติบนคอมพิวเตอร์ MANIAC ที่ Los Alamos และได้รับการขยายความโดย Hastings ในปี 1970 และกลายเป็นวิธีการจำลองที่ใช้กันอย่างแพร่หลายที่สุดในฟิสิกส์เชิงสถิติ และต่อมาในสถิติแบบเบย์

Key figures

• Nicholas Metropolis
• Arianna Rosenbluth
• W. Keith Hastings

Seminal works

• metropolis1953
• hastings1970

Frequently asked questions

เหตุใดการเคลื่อนที่ที่ลดพลังงานจึงได้รับการยอมรับเสมอ?

การเคลื่อนที่ที่ลดพลังงานจะเพิ่มน้ำหนักของโบลต์ซมันน์ ดังนั้นการยอมรับการเคลื่อนที่ดังกล่าวจะทำให้ลูกโซ่เคลื่อนที่ไปยังสถานะที่มีความน่าจะเป็นมากขึ้นเสมอ; การเคลื่อนที่ขึ้นเนินจะได้รับการยอมรับเป็นบางครั้งเท่านั้น โดยมีความน่าจะเป็นที่กำหนดโดยการเพิ่มขึ้นของพลังงาน ซึ่งเป็นสิ่งที่ทำให้ลูกโซ่สามารถสำรวจการกระจายตัวทางความร้อนทั้งหมด แทนที่จะกลิ้งลงเนินเท่านั้น

เหตุใดตัวอย่างจึงต้องถูกทิ้งในช่วงเริ่มต้นของการรัน?

ลูกโซ่เริ่มต้นจากการจัดเรียงแบบสุ่มที่ยังไม่เป็นตัวแทนของการกระจายตัวของสมดุล ระยะเวลาการปรับสมดุลเริ่มต้นหรือช่วง burn-in จะถูกทิ้งไป เพื่อให้ค่าเฉลี่ยที่วัดได้สะท้อนถึงกลุ่มทางความร้อนที่แท้จริง แทนที่จะเป็นอคติเริ่มต้น