ละตินสแควร์และเรขาคณิตจำกัด

ละตินสแควร์คือตารางสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่แต่ละสัญลักษณ์ปรากฏเพียงครั้งเดียวในแต่ละแถวและคอลัมน์ และเรขาคณิตจำกัดคือระบบอุบัติการณ์ที่มีโครงสร้างสูงบนจุดและเส้นจำนวนจำกัด

Definition

ละตินสแควร์อันดับ n คือตารางขนาด n คูณ n ที่บรรจุด้วยสัญลักษณ์ n ตัว โดยที่แต่ละสัญลักษณ์จะปรากฏเพียงครั้งเดียวในแต่ละแถวและแต่ละคอลัมน์ ส่วนระนาบเชิงภาพฉายจำกัดคือโครงสร้างอุบัติการณ์ของจุดและเส้นที่จุดสองจุดใดๆ จะอยู่บนเส้นที่ไม่ซ้ำกันเพียงเส้นเดียว และเส้นสองเส้นใดๆ จะตัดกันที่จุดที่ไม่ซ้ำกันเพียงจุดเดียว

Scope

หัวข้อนี้กล่าวถึงละตินสแควร์และละตินสแควร์เชิงตั้งฉากซึ่งกันและกัน ความสมมูลของละตินสแควร์กับเน็ตและการออกแบบแบบทรานส์เวอร์แซล รวมถึงระนาบเชิงภาพฉายและระนาบเชิงสัมพันธ์จำกัดที่สร้างขึ้นจากฟิลด์จำกัด นอกจากนี้ยังรวมถึงข้อคาดการณ์คลาสสิกของออยเลอร์เกี่ยวกับสแควร์เชิงตั้งฉาก และความเชื่อมโยงอย่างลึกซึ้งระหว่างละตินสแควร์เชิงตั้งฉากซึ่งกันและกันกับระนาบเชิงภาพฉายจำกัด

Core questions

• ละตินสแควร์เชิงตั้งฉากซึ่งกันและกันที่มีอันดับที่กำหนดสามารถมีได้กี่ชุด?
• สำหรับอันดับใดบ้างที่ชุดสมบูรณ์ของสแควร์เชิงตั้งฉากและระนาบเชิงภาพฉายมีอยู่?
• ฟิลด์จำกัดสร้างระนาบและสแควร์เชิงตั้งฉากได้อย่างไร?
• สัจพจน์อุบัติการณ์ใดที่กำหนดเรขาคณิตเชิงสัมพันธ์และเชิงภาพฉายบนเซตจำกัด?

Key concepts

• ละตินสแควร์
• ละตินสแควร์เชิงตั้งฉากซึ่งกันและกัน
• การออกแบบแบบทรานส์เวอร์แซลและเน็ต
• ระนาบเชิงภาพฉายจำกัด
• ระนาบเชิงสัมพันธ์
• ฟิลด์กาโลอิส (จำกัด)

Key theories

MOLS และระนาบเชิงภาพฉาย

ชุดสมบูรณ์ของละตินสแควร์เชิงตั้งฉากซึ่งกันและกัน n-1 ชุด อันดับ n จะมีอยู่ก็ต่อเมื่อมีระนาบเชิงภาพฉายจำกัดอันดับ n ซึ่งเชื่อมโยงคณิตศาสตร์เชิงการจัดของละตินสแควร์เข้ากับเรขาคณิตจำกัด

การหักล้างข้อคาดการณ์ของออยเลอร์

ออยเลอร์คาดการณ์ว่าไม่มีละตินสแควร์เชิงตั้งฉากคู่ใดอยู่สำหรับอันดับที่สมภาคกับ 2 มอดุโล 4; Bose, Shrikhande และ Parker ได้หักล้างสิ่งนี้ในปี ค.ศ. 1960 สำหรับอันดับดังกล่าวทั้งหมด ยกเว้น 2 และ 6

Clinical relevance

ละตินสแควร์ให้การออกแบบการทดลองแบบแถว-คอลัมน์ที่ควบคุมแหล่งที่มาของความแปรปรวนสองแหล่งพร้อมกัน อาร์เรย์เชิงตั้งฉากสนับสนุนการทดลองแบบแฟกทอเรียลและการทดสอบซอฟต์แวร์ และเรขาคณิตจำกัดสร้างรหัสและการออกแบบ

History

ออยเลอร์ได้ศึกษาละตินสแควร์เชิงตั้งฉากในปี ค.ศ. 1782 ผ่านปัญหาเจ้าหน้าที่สามสิบหกนายของเขา ข้อคาดการณ์ของเขายังคงอยู่จนกระทั่งถูกหักล้างในปี ค.ศ. 1960 โดย Bose, Shrikhande และ Parker ซึ่งถูกเรียกว่า Euler spoilers

Key figures

• Leonhard Euler
• R. C. Bose
• E. T. Parker

Seminal works

• colbourn2007

Frequently asked questions

การที่ละตินสแควร์สองชุดเป็นเชิงตั้งฉากหมายความว่าอย่างไร?

เมื่อนำสแควร์ทั้งสองมาซ้อนทับกัน คู่ของสัญลักษณ์ที่เรียงลำดับแต่ละคู่จะปรากฏเพียงครั้งเดียว ดังนั้นสแควร์ทั้งสองจึงสามารถแยกแยะเซลล์ทุกเซลล์ของตารางได้อย่างชัดเจน

ตารางซูโดกุเป็นละตินสแควร์หรือไม่?

ซูโดกุที่สมบูรณ์แล้วเป็นละตินสแควร์อันดับเก้า โดยมีข้อจำกัดเพิ่มเติมคือแต่ละช่องขนาดสามคูณสามก็ต้องมีสัญลักษณ์ทุกตัวปรากฏเพียงครั้งเดียวด้วย