การออกแบบบล็อก (Block Designs)

การออกแบบบล็อกเป็นการจัดเรียงองค์ประกอบต่างๆ ลงในบล็อก โดยที่ทุกคู่ หรือโดยทั่วไปคือทุก t-สับเซตขององค์ประกอบ จะปรากฏร่วมกันในบล็อกจำนวนหนึ่งที่กำหนดไว้

Definition

การออกแบบบล็อกไม่สมบูรณ์แบบสมดุล (balanced incomplete block design) คือชุดของสับเซต (บล็อก) ที่มีขนาดเท่ากันของเซตจุดจำกัด โดยที่ทุกคู่ของจุดจะอยู่ในบล็อกจำนวนเท่ากันพอดี

Scope

หัวข้อนี้ครอบคลุมการออกแบบบล็อกไม่สมบูรณ์แบบสมดุล (balanced incomplete block designs) และพารามิเตอร์ของมัน เงื่อนไขการนับที่จำเป็น ระบบสไตเนอร์ (Steiner systems) และ t-ดีไซน์ (t-designs) รวมถึงเทคนิคการมีอยู่และการสร้าง ซึ่งรวมถึงเซตผลต่าง (difference sets) และอสมการของฟิชเชอร์ (Fisher's inequality) โดยเชื่อมโยงคำถามเกี่ยวกับการมีอยู่เชิงการจัดหมู่เข้ากับพีชคณิตและทฤษฎีทางสถิติของการออกแบบการทดลอง

Core questions

• การออกแบบที่สมดุลมีอยู่สำหรับชุดพารามิเตอร์ใดบ้าง?
• พารามิเตอร์การออกแบบต้องเป็นไปตามเงื่อนไขการหารและการนับใดบ้าง?
• จะสร้างการออกแบบจากเซตผลต่างและฟิลด์จำกัดได้อย่างไร?
• t-ดีไซน์และระบบสไตเนอร์สรุปความสมดุลแบบคู่ได้อย่างไร?

Key concepts

• การออกแบบบล็อกไม่สมบูรณ์แบบสมดุล (Balanced incomplete block design)
• พารามิเตอร์การออกแบบ (v, b, r, k, lambda)
• ระบบสไตเนอร์ (Steiner systems)
• t-ดีไซน์ (t-designs)
• เซตผลต่าง (Difference sets)
• เมทริกซ์อุบัติการณ์ (Incidence matrix)

Key theories

อสมการของฟิชเชอร์ (Fisher's inequality)

ในการออกแบบบล็อกไม่สมบูรณ์แบบสมดุลที่ไม่เป็นสาระสำคัญใดๆ จำนวนบล็อกมีค่าอย่างน้อยเท่ากับจำนวนจุด ซึ่งเป็นข้อจำกัดพื้นฐานที่พิสูจน์ได้ด้วยการให้เหตุผลเกี่ยวกับอันดับของเมทริกซ์อุบัติการณ์โดยใช้พีชคณิตเชิงเส้น

ทฤษฎีบทบรัค-ไรเซอร์-เชาว์ลา (Bruck-Ryser-Chowla theorem)

ทฤษฎีบทนี้ให้เงื่อนไขทางคณิตศาสตร์ที่พารามิเตอร์ของการออกแบบสมมาตรต้องเป็นไปตามเพื่อที่จะมีอยู่ ซึ่งตัดชุดพารามิเตอร์จำนวนอนันต์ออกไป รวมถึงระนาบเชิงภาพฉายบางประเภท

Clinical relevance

การออกแบบบล็อกมีต้นกำเนิดและยังคงเป็นหัวใจสำคัญในการออกแบบการทดลองทางสถิติ ซึ่งช่วยให้สามารถเปรียบเทียบการรักษาได้อย่างยุติธรรมเมื่อไม่สามารถนำการรักษาทั้งหมดมาทดสอบร่วมกันได้ นอกจากนี้ยังสร้างรหัสแก้ไขข้อผิดพลาด (error-correcting codes) และชุดทดสอบเชิงการจัดหมู่ (combinatorial test suites)

History

สไตเนอร์ได้ตั้งคำถามเกี่ยวกับการมีอยู่ของระบบสามสิ่ง (triple-system) ในปี 1853; ฟิชเชอร์และเยตส์ได้พัฒนาการออกแบบสำหรับการทดลองทางการเกษตรในช่วงทศวรรษ 1930 และโบสและคนอื่นๆ ได้สร้างทฤษฎีการสร้างเชิงพีชคณิตที่ลึกซึ้งในช่วงกลางศตวรรษที่ 20

Key figures

• Ronald Fisher
• Jakob Steiner
• R. C. Bose

Seminal works

• colbourn2007

Frequently asked questions

ระบบสามสิ่งของสไตเนอร์ (Steiner triple system) คืออะไร?

เป็นการออกแบบที่มีบล็อกเป็นสามสิ่ง โดยที่ทุกคู่ของจุดจะอยู่ในบล็อกเพียงบล็อกเดียว ระบบดังกล่าวมีอยู่เมื่อจำนวนจุดสอดคล้องกับ 1 หรือ 3 มอดุโล 6 เท่านั้น

เหตุใดการออกแบบบล็อกจึงมีประโยชน์ในการทดลอง?

เมื่อการทดลองไม่สามารถทดสอบการรักษาทั้งหมดพร้อมกันได้ การออกแบบที่สมดุลจะช่วยให้มั่นใจได้ว่าทุกคู่ของการรักษาจะถูกเปรียบเทียบเท่ากันบ่อยครั้ง ซึ่งช่วยขจัดอคติที่เป็นระบบ