ทฤษฎีบทความไม่สมบูรณ์ของเกอเดล

ทฤษฎีบทความไม่สมบูรณ์ของเกอเดลระบุว่า ทฤษฎีรูปนัยที่สอดคล้องกันใดๆ ที่สามารถแสดงเลขคณิตพื้นฐานได้ จะไม่สมบูรณ์และไม่สามารถพิสูจน์ความสอดคล้องของตนเองได้ ซึ่งเป็นการกำหนดขีดจำกัดพื้นฐานของระเบียบวิธีสัจพจน์

Definition

ทฤษฎีบทความไม่สมบูรณ์แรกระบุว่า ทฤษฎีใดๆ ที่สอดคล้องกัน มีการวางสัจพจน์อย่างมีประสิทธิภาพ และตีความส่วนย่อยของเลขคณิต จะมีประโยคที่ทั้งทฤษฎีนั้นและนิเสธของมันไม่สามารถพิสูจน์ได้; ทฤษฎีบทที่สองระบุว่า ทฤษฎีดังกล่าวไม่สามารถพิสูจน์ข้อความรูปนัยที่ยืนยันความสอดคล้องของตนเองได้

Scope

หัวข้อนี้ครอบคลุมถึงการทำเลขคณิตของวากยสัมพันธ์และการกำหนดหมายเลขเกอเดล, บทตั้งแนวทแยงและการสร้างประโยคอ้างอิงตนเอง, ทฤษฎีบทความไม่สมบูรณ์แรกเกี่ยวกับการมีอยู่ของประโยคจริงที่ไม่สามารถพิสูจน์ได้, ทฤษฎีบทความไม่สมบูรณ์ที่สองเกี่ยวกับการไม่สามารถพิสูจน์ความสอดคล้อง, และเงื่อนไขและผลที่ตามมามาตรฐาน เช่น ทฤษฎีบทของทาร์สกีเกี่ยวกับการไม่สามารถนิยามความจริงได้

Core questions

• วากยสัมพันธ์ของทฤษฎีถูกเข้ารหัสภายในเลขคณิตได้อย่างไร?
• บทตั้งแนวทแยงสร้างประโยคที่ยืนยันการไม่สามารถพิสูจน์ได้ของตนเองได้อย่างไร?
• เหตุใดทฤษฎีที่สอดคล้องกันและแข็งแกร่งเพียงพอจึงต้องไม่สมบูรณ์?
• เหตุใดทฤษฎีดังกล่าวจึงไม่สามารถพิสูจน์ความสอดคล้องของตนเองได้?

Key theories

บทตั้งแนวทแยง

สำหรับสูตรใดๆ ที่มีตัวแปรอิสระหนึ่งตัว จะมีประโยคที่ทฤษฎีพิสูจน์ว่าสมมูลกับสูตรนั้นที่ใช้กับรหัสของประโยคเอง ซึ่งช่วยให้สามารถอ้างอิงตนเองได้อย่างควบคุม

ทฤษฎีบทความไม่สมบูรณ์แรก

การประยุกต์ใช้บทตั้งแนวทแยงกับภาคแสดงที่พิสูจน์ได้ จะให้ประโยคที่เป็นจริงก็ต่อเมื่อไม่สามารถพิสูจน์ได้ ดังนั้น ทฤษฎีเลขคณิตที่สอดคล้องกันและมีการวางสัจพจน์อย่างมีประสิทธิภาพจะมีประโยคที่ทฤษฎีนั้นไม่สามารถพิสูจน์หรือหักล้างได้

ทฤษฎีบทความไม่สมบูรณ์ที่สอง

การทำให้การพิสูจน์ทฤษฎีบทแรกเป็นรูปนัยภายในทฤษฎีแสดงให้เห็นว่า ทฤษฎีจะพิสูจน์ความสอดคล้องของตนเองได้ก็ต่อเมื่อมันไม่สอดคล้องกัน ดังนั้น ทฤษฎีที่สอดคล้องกันจึงไม่สามารถสร้างความสอดคล้องของตนเองได้

Clinical relevance

ทฤษฎีบทความไม่สมบูรณ์ได้ปรับเปลี่ยนรากฐานของคณิตศาสตร์โดยแสดงให้เห็นว่า ไม่มีระบบรูปนัยที่สอดคล้องกันเพียงระบบเดียวที่สามารถตอบคำถามทางเลขคณิตได้ทุกข้อ หรือรับรองความน่าเชื่อถือของตนเองได้ ซึ่งเป็นการจำกัดโครงการของฮิลเบิร์ต และกระตุ้นให้เกิดการวัดความแข็งแกร่งทางทฤษฎีด้วยมาตรการเชิงอันดับ (ordinal-theoretic measures) และการศึกษาความสอดคล้องเชิงสัมพัทธ์

History

เกอเดลได้ประกาศทฤษฎีบทความไม่สมบูรณ์ในปี 1930 และตีพิมพ์ในปี 1931 ซึ่งเป็นการล้มล้างความคาดหวังที่ว่าเลขคณิตสามารถวางสัจพจน์ได้อย่างสมบูรณ์และรับรองตนเองได้ รอสเซอร์ได้เสริมความแข็งแกร่งของสมมติฐานในปี 1936 และทฤษฎีบทของทาร์สกีเกี่ยวกับการไม่สามารถนิยามความจริงได้ซึ่งเกิดขึ้นในเวลาเดียวกัน ได้ให้ผลลัพธ์ที่จำกัดที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิด

Key figures

• Kurt Goedel
• Alfred Tarski
• J. Barkley Rosser
• David Hilbert

Seminal works

• smith2013
• godel1931
• boolos2007

Frequently asked questions

ทฤษฎีบทความไม่สมบูรณ์บอกว่าคณิตศาสตร์ไม่สอดคล้องกันหรือไม่?

ไม่ ทฤษฎีบทเหล่านี้ระบุว่าระบบรูปนัยที่สอดคล้องกันและแข็งแกร่งเพียงพอใดๆ จะไม่สมบูรณ์และไม่สามารถรับรองความสอดคล้องของตนเองได้ ทฤษฎีบทเหล่านี้ไม่ได้ทำให้เกิดข้อสงสัยเกี่ยวกับความจริงของคณิตศาสตร์ แต่เป็นเพียงขีดจำกัดของระบบสัจพจน์แต่ละระบบเท่านั้น

ความไม่สมบูรณ์หมายความว่าความจริงบางอย่างไม่สามารถรู้ได้หรือไม่?

ไม่เชิงในความหมายสัมบูรณ์ ประโยคที่ไม่สามารถพิสูจน์ได้ในทฤษฎีหนึ่ง อาจพิสูจน์ได้ในทฤษฎีที่แข็งแกร่งกว่า เช่น โดยการเพิ่มข้อความความสอดคล้องหรือสัจพจน์ที่แข็งแกร่งกว่า ความไม่สมบูรณ์เป็นข้อจำกัดของแต่ละระบบที่กำหนดไว้ ไม่ใช่อุปสรรคต่อความรู้ทางคณิตศาสตร์โดยรวม