แคทิกอรี, ฟังก์ชันเตอร์ และการแปลงเชิงธรรมชาติ
แคทิกอรี, ฟังก์ชันเตอร์ และการแปลงเชิงธรรมชาติ เป็นแนวคิดพื้นฐานสามประการของทฤษฎีแคทิกอรี ซึ่งเป็นการสร้างแบบจำลองที่เป็นทางการของโครงสร้าง, การส่งระหว่างโครงสร้าง และการส่งระหว่างการส่งดังกล่าว
Definition
แคทิกอรีประกอบด้วยวัตถุและมอร์ฟิซึมที่ประกอบกันแบบสมทบกับเอกลักษณ์; ฟังก์ชันเตอร์ส่งวัตถุและมอร์ฟิซึมของแคทิกอรีหนึ่งไปยังอีกแคทิกอรีหนึ่งโดยรักษาการประกอบและเอกลักษณ์; การแปลงเชิงธรรมชาติกำหนดมอร์ฟิซึมให้กับแต่ละวัตถุเพื่อให้สอดคล้องกับการกระทำของฟังก์ชันเตอร์สองตัว
Scope
หัวข้อนี้ครอบคลุมถึงนิยามของแคทิกอรีโดยอาศัยวัตถุ, มอร์ฟิซึม, การประกอบ และเอกลักษณ์, แนวคิดของฟังก์ชันเตอร์ในฐานะการส่งที่รักษาโครงสร้างระหว่างแคทิกอรี, การแปลงเชิงธรรมชาติในฐานะมอร์ฟิซึมของฟังก์ชันเตอร์ และแนวคิดที่เกิดขึ้นจากการสมสัณฐาน, ความสมมูลของแคทิกอรี และการฝังโยเนดะ
Core questions
- ข้อมูลและสัจพจน์ใดที่นิยามแคทิกอรี?
- ฟังก์ชันเตอร์ถ่ายทอดโครงสร้างจากแคทิกอรีหนึ่งไปยังอีกแคทิกอรีหนึ่งได้อย่างไร?
- ความเป็นธรรมชาติหมายถึงอะไร และเหตุใดจึงเป็นแนวคิดที่ถูกต้องของการส่งระหว่างฟังก์ชันเตอร์?
- เมื่อใดที่แคทิกอรีสองแคทิกอรีสมมูลกันแทนที่จะเท่ากัน?
Key theories
- สัจพจน์ของแคทิกอรีและฟังก์ชันเตอร์
- การประกอบของมอร์ฟิซึมเป็นแบบสมทบและมีเอกลักษณ์ และฟังก์ชันเตอร์รักษาโครงสร้างการประกอบนี้ ดังนั้นการสร้างเชิงแคทิกอรีจึงมีความเสถียรภายใต้การส่งที่เชื่อมโยงแคทิกอรีต่างๆ
- การแปลงเชิงธรรมชาติ
- การแปลงเชิงธรรมชาติเชื่อมโยงฟังก์ชันเตอร์สองตัวด้วยชุดของมอร์ฟิซึมที่เข้ากันได้กับการส่งทั้งหมดในแคทิกอรีต้นทาง ซึ่งจับแนวคิดที่ไม่เป็นทางการของการสร้างที่นิยามอย่างสม่ำเสมอและไม่มีการเลือกโดยพลการ
- ทฤษฎีบทโยเนดะและการฝัง
- การแปลงเชิงธรรมชาติจากฟังก์ชันเตอร์ที่ถูกแทนจะสอดคล้องกับสมาชิก ดังนั้นทุกวัตถุจึงถูกกำหนดโดยมอร์ฟิซึมของมันและฝังตัวอย่างสมบูรณ์และซื่อสัตย์ในแคทิกอรีฟังก์ชันเตอร์
Clinical relevance
แนวคิดทั้งสามนี้เป็นคำศัพท์ที่ใช้ในการเขียนคณิตศาสตร์เชิงแคทิกอรี: ฟังก์ชันเตอร์สร้างแบบจำลองที่เป็นทางการของการสร้าง เช่น การสร้างกลุ่มพื้นฐานหรือริงพหุนาม, ความเป็นธรรมชาติระบุการสร้างที่เป็นแบบแผน และมุมมองของโยเนดะเป็นรากฐานของมุมมองเชิงโครงสร้างที่แพร่หลายในพีชคณิต, โทโพโลยี และความหมายของภาษาโปรแกรม
History
ไอเลนเบิร์กและแมคเลนได้นำเสนอแคทิกอรี, ฟังก์ชันเตอร์ และการแปลงเชิงธรรมชาติในปี 1945 โดยมีการแปลงเชิงธรรมชาติเป็นแนวคิดที่กระตุ้นให้ต้องมีการนิยามแนวคิดอื่น ๆ อย่างแม่นยำ ทฤษฎีบทโยเนดะ ซึ่งเป็นผลงานของโนบุโอะ โยเนดะ ได้กลายเป็นรากฐานสำคัญที่แสดงถึงมุมมองของการเป็นตัวแทนของหัวข้อนี้ในเวลาต่อมา
Key figures
- Samuel Eilenberg
- Saunders Mac Lane
- Nobuo Yoneda
Related topics
Seminal works
- maclane1998
- awodey2010
- riehl2016
Frequently asked questions
- จุดประสงค์ของการแปลงเชิงธรรมชาติคืออะไร?
- พวกมันทำให้การสร้างมีความแม่นยำเมื่อการสร้างนั้นเป็นแบบแผน ซึ่งนิยามในลักษณะเดียวกันสำหรับทุกวัตถุโดยไม่มีการเลือกโดยพลการ ตัวอย่างคลาสสิกคือการส่งเชิงธรรมชาติจากปริภูมิเวกเตอร์ไปยังปริภูมิคู่คู่ของมัน ซึ่งมีอยู่ทั่วไปอย่างสม่ำเสมอ ไม่เหมือนกับการส่งไปยังปริภูมิคู่เดี่ยว ซึ่งขึ้นอยู่กับการเลือกฐาน
- ความสมมูลของแคทิกอรีคืออะไร?
- มันคือคู่ของฟังก์ชันเตอร์ระหว่างแคทิกอรีสองแคทิกอรีซึ่งการประกอบของพวกมันสมสัณฐานเชิงธรรมชาติกับเอกลักษณ์ แคทิกอรีที่สมมูลกันมีคุณสมบัติเชิงแคทิกอรีทั้งหมดร่วมกันแม้ว่าจะไม่เหมือนกันทุกประการ ซึ่งเป็นแนวคิดที่เหมาะสมของความเหมือนกันในทฤษฎีแคทิกอรี