Касательные пространства и векторные поля

Касательное пространство присоединяет векторное пространство скоростей к каждой точке многообразия, а векторное поле плавно назначает такую скорость по всему многообразию, кодируя потоки и инфинитезимальные симметрии.

Definition

Касательное пространство в точке гладкого многообразия — это векторное пространство векторов скоростей кривых, проходящих через эту точку (эквивалентно, дифференцирований гладких функций в этой точке); векторное поле — это гладкое назначение касательного вектора каждой точке, то есть сечение касательного расслоения.

Scope

Эта тема определяет касательное пространство — эквивалентно через векторы скоростей кривых, дифференцирования или совместимые с переходом кортежи — и объединяет касательные пространства в касательное расслоение. Она развивает дифференциал гладкого отображения, векторные поля как сечения касательного расслоения, их интегральные кривые и потоки, скобку Ли и производную Ли, а также теорему Фробениуса об интегрируемости распределений. Кокасательные пространства и дифференциальные 1-формы появляются как двойственная структура, ведущая к дифференциальным формам.

Core questions

• Каковы эквивалентные определения касательного вектора и почему они согласуются?
• Как дифференциал гладкого отображения действует на касательные пространства?
• Как векторные поля порождают потоки, и что скобка Ли измеряет относительно двух потоков?
• Когда семейство касательных распределений может быть интегрировано в подмногообразия (теорема Фробениуса)?

Key concepts

• Касательное пространство и касательные векторы как дифференцирования
• Касательное расслоение и дифференциал гладкого отображения
• Векторные поля, интегральные кривые и потоки
• Скобка Ли и производная Ли
• Распределения и теорема Фробениуса об интегрируемости

Clinical relevance

Касательные векторы и векторные поля формализуют скорость, силу и инфинитезимальную симметрию; они являются субстратом для динамических систем на многообразиях, алгебры Ли группы Ли, а также конструкций геодезических и кривизны римановой геометрии.

History

Внутреннее, координатно-независимое определение касательного пространства как дифференцирований появилось в середине 20-го века, основываясь на теории непрерывных групп преобразований Ли и исчислении дифференциальных форм Картана, что придало дифференциальной геометрии ее современную функториальную формулировку.

Key figures

• Élie Cartan
• Sophus Lie
• John M. Lee

Seminal works

• lee2012
• warner1983

Frequently asked questions

Почему касательные векторы определяются как дифференцирования?

Определение через дифференцирования является внутренним и координатно-независимым: касательный вектор — это линейный оператор на гладких функциях, удовлетворяющий правилу Лейбница, что позволяет избежать ссылки на какое-либо вложение и работает на абстрактных многообразиях.

Что измеряет скобка Ли двух векторных полей?

Она измеряет некоммутативность потоков двух векторных полей; обращение скобки в ноль означает, что потоки могут быть пройдены в любом порядке для достижения одной и той же точки.