Дифференцируемые многообразия

Дифференцируемое многообразие — это пространство, которое локально выглядит как евклидово пространство и склеено с помощью гладких преобразований координат, что позволяет выполнять исчисления на искривленных пространствах.

Definition

Дифференцируемое (гладкое) многообразие размерности n — это счётно-базисное хаусдорфово топологическое пространство, снабженное атласом карт в открытые подмножества n-мерного евклидова пространства, функции перехода которых бесконечно дифференцируемы.

Scope

Эта тема определяет многообразия с помощью атласов карт с гладкими функциями перехода, развивает гладкие структуры и рассматривает основные конструкции: подмногообразия, теоремы о ранге и регулярных значениях, представляющие множества уровня как многообразия, разбиения единицы и вложения в евклидово пространство (теорема Уитни о вложении). В ней вводится различие между топологическими и гладкими структурами, удивительное существование экзотических гладких структур и группы Ли как многообразия с совместимыми групповыми операциями.

Core questions

• Как карты и гладкие функции перехода позволяют однозначно переносить исчисление на искривленное пространство?
• Когда множество уровня гладкого отображения обладает естественной структурой многообразия?
• Почему каждое гладкое многообразие может быть вложено в некоторое евклидово пространство?
• Как одно топологическое многообразие может допускать неэквивалентные гладкие структуры?

Key concepts

• Карты, атласы и гладкие функции перехода
• Гладкие структуры и подмногообразия
• Теорема о регулярном значении и множества уровня как многообразия
• Разбиения единицы и теорема Уитни о вложении
• Топологическая и гладкая структуры, а также экзотические многообразия

Clinical relevance

Многообразия являются универсальной основой для современной геометрии и физики: конфигурационные и фазовые пространства в механике, пространство-время в общей теории относительности и группы Ли в теории симметрии — все это многообразия, а тонкости гладких структур, обнаруженные Милнором, изменили топологию двадцатого века.

History

Понятие многообразия, введенное Риманом в 1854 году, было строго определено в начале 20 века с помощью атласов; теоремы Уитни о вложении 1930-х годов обосновали абстрактную теорию, а открытие Милнором в 1956 году экзотических 7-сфер показало, что гладкая структура содержит информацию, выходящую за рамки топологии.

Key figures

• Bernhard Riemann
• Hassler Whitney
• John Milnor

Seminal works

• lee2012
• milnor1956

Frequently asked questions

Что делает многообразие дифференцируемым, а не просто топологическим?

Топологическое многообразие требует только карт в евклидово пространство; дифференцируемое многообразие дополнительно требует, чтобы функции перехода между перекрывающимися картами были гладкими, так чтобы понятие гладкой функции на многообразии было хорошо определено.

Что такое экзотическая сфера?

Это многообразие, гомеоморфное, но не диффеоморфное стандартной сфере; открытие Милнором таких структур на 7-сфере показало, что гладкие структуры не определяются базовой топологией.