Модуль

Модуль — это структура, подобная векторному пространству, скаляры которой берутся из кольца, а не из поля; это центральный объект теории модулей, который объединяет абелевы группы, векторные пространства и представления.

Definition

Модуль над кольцом R — это абелева группа, снабженная скалярным умножением на элементы R, которое является дистрибутивным и ассоциативным и уважает единицу, обобщая векторные пространства на коэффициенты из кольца.

Scope

Эта тема охватывает определение модуля над кольцом, подмодули и фактормодули, гомоморфизмы модулей, образующие и соотношения, циклические и конечно порожденные модули, а также теоремы об изоморфизмах, наряду с базовыми примерами абелевых групп и векторных пространств как модулей.

Core questions

• Как модуль обобщает векторное пространство и абелеву группу?
• Что такое подмодули, фактормодули и гомоморфизмы модулей?
• Как модуль представляется образующими и соотношениями?
• Почему модули могут не иметь базиса?

Key theories

Модули объединяют знакомые структуры

Модуль над полем — это векторное пространство, а модуль над целыми числами — это абелева группа, поэтому теория модулей рассматривает их и представления групп-колец в рамках единой структуры.

Теоремы об изоморфизмах для модулей

Гомоморфизмы модулей факторизуются через фактормодули по их ядрам, а теоремы о соответствии и изоморфизме переносятся из групп и колец, организуя структуру подмодулей и фактормодулей.

Образующие и соотношения

Каждый модуль является фактормодулем свободного модуля, поэтому он представляется образующими и соотношениями; неисчезновение соотношений — это именно то, что отличает общие модули от векторных пространств.

Clinical relevance

Модули являются общим языком для многих алгебраических структур: идеалы и факторкольца, абелевы группы, представления групп и алгебр, а также гомологические и когомологические группы топологии — все это модули, поэтому теория модулей предоставляет инструменты, применимые во всей математике.

History

Концепция модуля обобщила модули алгебраических чисел Дедекинда и абелевы группы арифметики девятнадцатого века, а Эмми Нётер поместила ее в центр алгебры в 1920-х годах, признав, что идеалы, факторкольца и представления являются модулями над подходящими кольцами.

Key figures

• Emmy Noether
• Richard Dedekind
• Wolfgang Krull

Seminal works

• dummit2004
• lang2002
• atiyah1969

Frequently asked questions

Почему модуль похож на векторное пространство с кольцом скаляров?

Аксиомы идентичны аксиомам векторного пространства, за исключением того, что скаляры берутся из кольца, а не из поля. Поскольку элементы кольца не обязательно обратимы, модули могут иметь кручение и соотношения, которых нет ни в одном векторном пространстве.

Какие знакомые объекты являются модулями?

Абелевы группы являются модулями над целыми числами, векторные пространства являются модулями над полями, а идеалы кольца являются модулями над этим кольцом. Именно поэтому единая теория модулей может одновременно рассматривать так много алгебраических структур.