Гомоморфизм колец

Гомоморфизм колец — это сохраняющее структуру отображение между кольцами, морфизм теории колец, ядро которого является идеалом, а образ — подкольцом, регулируемый теоремами об изоморфизме.

Definition

Гомоморфизм колец — это функция между кольцами, которая сохраняет сложение, умножение и (по соглашению) мультипликативную единицу, так что алгебраические операции соблюдаются.

Scope

Эта тема охватывает определение гомоморфизмов и изоморфизмов колец, ядер и образов, четыре теоремы об изоморфизме для колец, характеристику и простое подкольцо, а также универсальные свойства фактор-колец и отображений оценки.

Core questions

• Что означает для отображения сохранение структуры кольца?
• Как ядро и образ гомоморфизма соотносятся с идеалами и подкольцами?
• Как теоремы об изоморфизме факторизуют гомоморфизм через фактор-кольцо?
• Как отображения оценки и редукции возникают как гомоморфизмы колец?

Key theories

Первая теорема об изоморфизме для колец

Каждый гомоморфизм колец факторизуется как сюръекция на свой образ с последующим включением, а его образ изоморфен фактор-кольцу области определения по его ядру, которое является идеалом.

Теоремы о соответствии и изоморфизме

Факторизация по идеалу устанавливает биекцию между содержащими его идеалами и идеалами фактор-кольца, а вторая, третья и четвертая теоремы об изоморфизме описывают, как подкольца, идеалы и фактор-кольца взаимодействуют при гомоморфизмах.

Универсальное свойство фактор-колец

Гомоморфизм, ядро которого содержит данный идеал, однозначно факторизуется через фактор-кольцо по этому идеалу, поэтому фактор-кольца универсальны среди гомоморфных образов, аннулирующих идеал.

Clinical relevance

Гомоморфизмы колец формализуют основные операции алгебры: редукция по модулю целого числа или многочлена, оценка многочленов и включение кольца в большее кольцо — все это гомоморфизмы. Они превращают кольца в категорию и являются отображениями, по которым структура и вычисления передаются в теории чисел и алгебраической геометрии.

History

Теоремы о гомоморфизмах и изоморфизмах были абстрагированы из теории групп для колец в рамках программы структурной алгебры Эмми Нётер в 1920-х годах, объединяя конструкции, которые ранее рассматривались в теории чисел и теории уравнений в каждом конкретном случае.

Key figures

• Emmy Noether
• Richard Dedekind
• Emil Artin

Seminal works

• dummit2004
• hungerford1974
• lang2002

Frequently asked questions

Почему ядро гомоморфизма колец должно быть идеалом?

Ядро замкнуто относительно сложения, и, поскольку отображение переводит произведения в произведения, а образ элемента ядра равен нулю, оно поглощает умножение на любой элемент кольца. Это свойство поглощения и есть определение идеала.

Какой пример гомоморфизма колец можно привести в повседневной алгебре?

Редукция целых чисел по модулю n, оценка многочлена в фиксированном числе и комплексное сопряжение — все это гомоморфизмы колец. Каждый из них сохраняет суммы и произведения, а теоремы об изоморфизме описывают их образы как фактор-кольца.