Модель Изинга и решеточные системы

Модель Изинга взаимодействующих спинов на решетке является канонической микроскопической моделью фазового перехода, точно решаемой в низких размерностях и служащей парадигмой для кооперативного поведения.

Definition

Модель Изинга — это решеточная модель, в которой каждый узел несет спин, принимающий одно из двух значений, и взаимодействует со своими соседями, служащая простейшей микроскопической моделью, демонстрирующей термодинамический фазовый переход в упорядоченное состояние.

Scope

Эта тема охватывает модель Изинга и ее обобщения на решетке, приближение среднего поля и его предсказания, отсутствие перехода в одномерном случае, точное решение Онсагера в двумерном случае, методы трансфер-матрицы, а также использование этих моделей как простейших микроскопических систем, демонстрирующих спонтанную намагниченность и критическую точку. Родственные модели, такие как модели Поттса и Гейзенберга, рассматриваются как расширения.

Core questions

• Как взаимодействие ближайших соседей в модели Изинга приводит к спонтанной намагниченности?
• Почему одномерная модель Изинга не имеет фазового перехода при конечной температуре?
• Что точное двумерное решение Онсагера раскрывает о критическом поведении?
• Как теория среднего поля аппроксимирует модель Изинга и где она дает сбой?

Key concepts

• Спины и взаимодействие ближайших соседей
• Спонтанная намагниченность и порядок
• Приближение среднего поля
• Метод трансфер-матрицы
• Точное двумерное решение Онсагера

Key theories

Точное решение Онсагера двумерной модели Изинга

Онсагер точно решил двумерную модель Изинга без внешнего поля, продемонстрировав истинный фазовый переход с логарифмически расходящейся удельной теплоемкостью и предоставив критические показатели, которые отличаются от предсказаний теории среднего поля.

Clinical relevance

Помимо магнетизма, модель Изинга отображается на решеточные газы, бинарные сплавы, а также задачи нейронных сетей и оптимизации, что делает ее универсальным испытательным стендом для кооперативных явлений и эталоном для вычислительных методов, таких как моделирование Монте-Карло.

History

Предложенная Ленцем и решенная в одномерном случае Изингом в 1925 году, модель долгое время считалась слишком простой, чтобы демонстрировать переход, пока Пайерлс не высказал противоположное мнение, а точное двумерное решение Онсагера 1944 года не доказало, что она обладает истинной критической точкой.

Key figures

• Ernst Ising
• Wilhelm Lenz
• Lars Onsager

Seminal works

• onsager1944
• stanley1971

Frequently asked questions

Почему модель Изинга так важна, если она настолько идеализирована?

Ее простота делает ее аналитически и вычислительно разрешимой, при этом она все еще улавливает суть кооперативного упорядочивания, поэтому она служит эталонной системой для проверки таких концепций, как универсальность, теория среднего поля и ренормализационная группа.