Теория Гамильтона — Якоби

Теория Гамильтона — Якоби ищет каноническое преобразование к переменным, в которых движение является тривиальным, сводя механику к решению одного дифференциального уравнения в частных производных первого порядка для действия.

Definition

Теория Гамильтона — Якоби — это формулировка механики, в которой решается дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка, уравнение Гамильтона — Якоби, для производящей функции, которая преобразует координаты таким образом, что все импульсы становятся постоянными, а движение — немедленным.

Scope

Эта тема охватывает уравнение Гамильтона — Якоби для главной и характеристической функций Гамильтона, метод разделения переменных для его решения, построение переменных действия — угла для периодических и многопериодических систем, а также роль теории как классического предела и концептуального предшественника волновой механики.

Core questions

• Что такое уравнение Гамильтона — Якоби и какую функцию оно определяет?
• Как разделение переменных делает уравнение разрешимым для интегрируемых систем?
• Что такое переменные действия — угла и почему они ценны?

Key concepts

• Главная функция Гамильтона
• Характеристическая функция Гамильтона
• Разделение переменных
• Переменные действия — угла
• Полный интеграл

Key theories

Уравнение Гамильтона — Якоби

Нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка для главной функции Гамильтона, полное решение которого генерирует каноническое преобразование, сводящее систему к постоянным новым координатам и импульсам.

Переменные действия — угла

Для периодических систем теория дает переменные действия, которые являются интегралами движения, и сопряженные угловые переменные, которые равномерно изменяются во времени, что идеально подходит для теории возмущений и квантования.

Clinical relevance

Теория Гамильтона — Якоби послужила основой для квантования Бора — Зоммерфельда в старой квантовой теории, предвосхищает эйкональный и геометрико-оптический предел волновых уравнений и лежит в основе теории оптимального управления через связанное уравнение Гамильтона — Якоби — Беллмана, используемое в инженерии и экономике.

History

Гамильтон разработал главную функцию в оптике и механике в начале 1830-х годов, а Якоби переформулировал и завершил теорию, придав уравнению его современную форму и показав его мощь для интегрирования динамических задач. В начале двадцатого века формулировка действия — угла стала основой правил квантования Зоммерфельда, связывая классическую механику с зарождающейся квантовой теорией.

Key figures

• William Rowan Hamilton
• Carl Gustav Jacob Jacobi
• Arnold Sommerfeld

Seminal works

• goldstein2002
• landau1976

Frequently asked questions

Зачем решать дифференциальное уравнение в частных производных вместо обычных уравнений движения?

Полное решение одного уравнения Гамильтона — Якоби дает каноническое преобразование, которое сразу делает все движение явным, что для разделяемых, интегрируемых систем является более мощным подходом, чем прямое интегрирование связанных обычных уравнений.

Как теория связана с квантовой механикой?

Уравнение Гамильтона — Якоби является коротковолновым пределом уравнения Шрёдингера, а главная функция Гамильтона играет роль фазы квантовой волновой функции, что делает теорию классическим скелетом волновой механики.