Представление группы

Представление группы реализует элементы группы как обратимые линейные преобразования векторного пространства, переводя теорию групп в линейную алгебру и выявляя структуру через характеры.

Definition

Представление группы G на векторном пространстве V — это гомоморфизм из G в группу обратимых линейных операторов на V, или, эквивалентно, модуль над групповой алгеброй G.

Scope

Эта тема охватывает представления и их эквивалентность, неприводимые представления, теорему Машке о полной приводимости, лемму Шура, характеры и соотношения ортогональности, а также разложение представлений над полями нулевой характеристики. Она является введением в теорию представлений конечных групп.

Core questions

• Как группу можно моделировать матрицами, действующими на векторное пространство?
• Когда представление разлагается на неприводимые компоненты?
• Какая информация о представлении содержится в его характере?
• Как соотношения ортогональности классифицируют неприводимые представления конечной группы?

Key theories

Теорема Машке

Над полем, характеристика которого не делит порядок группы, каждое представление конечной группы полностью приводимо, разлагаясь в прямую сумму неприводимых представлений.

Лемма Шура

Любой гомоморфизм между неприводимыми представлениями либо равен нулю, либо является изоморфизмом, а над алгебраически замкнутым полем эндоморфизмы неприводимого представления являются скалярами, что является краеугольным камнем теории характеров.

Соотношения ортогональности характеров

Характеры неприводимых комплексных представлений конечной группы образуют ортонормированный базис для пространства классовых функций, поэтому число неприводимых представлений равно числу классов сопряженности, и каждое представление определяется своим характером.

Clinical relevance

Теория представлений делает конечные группы вычислимыми с помощью линейной алгебры и незаменима в квантовой механике и спектроскопии (базисы, адаптированные к симметрии, и правила отбора), в кристаллографии и в анализе симметрии в физике, а также в теории чисел через представления, связанные с группами Галуа.

History

Фробениус ввел характеры и представления конечных групп в 1890-х годах, а Шур, Бернсайд и Вейль развили теорию в мощный структурный инструмент. Теорема Машке и соотношения ортогональности придали предмету форму, преподаваемую сегодня, и связали его с физикой симметрии.

Key figures

• Georg Frobenius
• Issai Schur
• William Burnside
• Hermann Weyl

Seminal works

• serre1977
• dummit2004
• lang2002

Frequently asked questions

Зачем вообще представлять группу матрицами?

Линейная алгебра гораздо более вычислима, чем абстрактная теория групп, а характеры сводят представление к одной классовой функции. Теория характеров Фробениуса позволила математикам доказать глубокие результаты, такие как теорема Бернсайда о группах порядка, делящегося только на два простых числа, которые иначе были бы недоступны.

Что означает, что представление неприводимо?

Неприводимое представление не имеет собственного ненулевого подпространства, сохраняемого каждым элементом группы; это строительный блок. Теорема Машке утверждает, что в хорошей характеристике каждое представление является прямой суммой этих блоков.