Группа Галуа

Группа Галуа расширения поля — это группа автоморфизмов поля, фиксирующих базовое поле, кодирующая симметрии корней многочлена и индексирующая промежуточные поля.

Definition

Для расширения поля группа Галуа — это группа автоморфизмов большего поля, которые фиксируют каждый элемент базового поля; расширение называется расширением Галуа, когда порядок этой группы равен степени расширения, что имеет место только для конечных нормальных и сепарабельных расширений.

Scope

Эта тема охватывает автоморфизмы расширений полей, определение группы Галуа, нормальные и сепарабельные расширения, фундаментальную теорему теории Галуа и вычисление групп Галуа многочленов, а также их интерпретацию как групп перестановок корней.

Core questions

• Какими симметриями обладает расширение поля?
• Когда расширение является расширением Галуа и каков порядок его группы автоморфизмов?
• Как группа Галуа соответствует промежуточным полям?
• Как группа Галуа многочлена реализуется как группа перестановок его корней?

Key theories

Фундаментальная теорема теории Галуа

Для конечного расширения Галуа существует включающая-обращающая биекция между промежуточными полями и подгруппами группы Галуа, при которой степень подрасширения равна индексу соответствующей подгруппы.

Группа Галуа как перестановки корней

Группа Галуа сепарабельного многочлена действует точно на его корнях, встраивая её как подгруппу симметрической группы на этих корнях, что ограничивает и помогает вычислять группу.

Теорема Артина о фиксированных полях

Если конечная группа автоморфизмов действует на поле, то всё поле является расширением Галуа фиксированного подполя с этой группой в качестве его группы Галуа, что даёт обратную конструкцию к построению групп Галуа.

Clinical relevance

Группа Галуа преобразует вопросы о расширениях полей и полиномиальных уравнениях в вопросы теории групп; её разрешимость определяет разрешимость в радикалах, а обратная задача Галуа и представления Галуа делают её центральной для современной теории чисел и арифметической геометрии.

History

Галуа в 1830-х годах связал с каждым уравнением группу перестановок его корней — первоначальную группу Галуа. Дедекинд и Артин переформулировали это в терминах автоморфизмов полей, и формулировка Артина в терминах фиксированных полей придала теории её современную концептуальную форму.

Key figures

• Évariste Galois
• Emil Artin
• Richard Dedekind
• Leopold Kronecker

Seminal works

• dummit2004
• lang2002
• artin2011

Frequently asked questions

Когда расширение поля является расширением Галуа?

Конечное расширение является расширением Галуа, когда оно одновременно нормально (содержит все сопряжённые элементы каждого из своих элементов) и сепарабельно (минимальные многочлены имеют различные корни). Эквивалентно, группа автоморфизмов, фиксирующая базовое поле, имеет порядок, равный степени расширения.

Почему группу Галуа рассматривают как переставляющую корни?

Автоморфизм, фиксирующий базовое поле, должен переводить корни многочлена в другие корни, поэтому группа действует на конечном множестве корней. Это реализует группу Галуа внутри симметрической группы, делая её вычислимой и связывая её с теорией групп перестановок.