Уравнение Эйнштейна и тензор энергии-импульса

Уравнение Эйнштейна приравнивает тензор Эйнштейна, величину кривизны, построенную из метрики, к тензору энергии-импульса, который описывает плотность и поток энергии и импульса в материи.

Definition

Уравнение Эйнштейна — это полевое уравнение G + (космологический член) = 8 пи G/c^4 умножить на T, в котором тензор Эйнштейна G кодирует кривизну пространства-времени, а тензор энергии-импульса T кодирует содержание энергии и импульса материи и негравитационных полей.

Scope

Эта тема охватывает построение тензора Эйнштейна из тензора Риччи и скаляра, тензор энергии-импульса и его компоненты (плотность энергии, плотность импульса, давление и напряжение), примеры идеальной жидкости и электромагнитного поля, свёрнутое тождество Бианки, которое гарантирует сохранение энергии-импульса, и редукцию слабого поля к ньютоновскому уравнению Пуассона.

Core questions

• Как построен тензор Эйнштейна, чтобы сохранение энергии-импульса было автоматическим?
• Какие физические величины кодируются в тензоре энергии-импульса?
• Как уравнение сводится к ньютоновской гравитации в пределе слабого поля?

Key concepts

• Тензор Эйнштейна
• Тензор и скаляр Риччи
• Тензор энергии-импульса
• Идеальная жидкость
• Тождество Бианки
• Ньютоновский (слабополевой) предел

Key theories

Тензор Эйнштейна и тождество Бианки

Тензор Эйнштейна — это единственная бездивергентная комбинация тензора Риччи и скалярной кривизны, так что свёрнутое тождество Бианки заставляет тензор энергии-импульса сохраняться, встраивая локальное сохранение энергии-импульса в геометрию.

Энергия-импульс как источник гравитации

Тензор энергии-импульса объединяет плотность энергии, импульс, давление и сдвиговое напряжение, и он является полным источником гравитации в общей теории относительности, так что давление и энергия, а не только масса, вносят вклад в кривизну пространства-времени.

Clinical relevance

Поскольку давление и энергия гравитируют, тензор энергии-импульса управляет структурой звёзд и нейтронных звёзд посредством релятивистского гидростатического равновесия, поведением космологических эпох, доминируемых излучением и материей, а также условиями, энергетическими условиями, используемыми для доказательства теорем о сингулярности и положительной энергии.

History

В 1915 году Эйнштейн пытался найти полевые уравнения, которые были бы общековариантными и сводились к ньютоновской гравитации при сохранении энергии-импульса; признание того, что тензор Эйнштейна автоматически бездивергентен, благодаря тождествам Бианки, разрешило трудность и зафиксировало окончательную форму уравнений.

Key figures

• Albert Einstein
• Luigi Bianchi
• David Hilbert

Seminal works

• einstein1916
• wald1984

Frequently asked questions

Почему давление гравитирует в общей теории относительности, но не в ньютоновской гравитации?

Источником гравитации в общей теории относительности является полный тензор энергии-импульса, пространственно-напряжённые компоненты которого включают давление; в ньютоновском пределе эти члены пренебрежимо малы по сравнению с энергией покоящейся массы, поэтому появляется только плотность массы, но в сильных полях и релятивистской материи давление вносит измеримый вклад.

Как из уравнений следует сохранение энергии-импульса?

Тензор Эйнштейна удовлетворяет свёрнутому тождеству Бианки, что означает, что его ковариантная дивергенция тождественно равна нулю; приравнивание его к тензору энергии-импульса затем заставляет этот тензор ковариантно сохраняться как встроенное следствие геометрии.