Искривление пространства-времени и геодезические линии

В общей теории относительности материя искривляет пространство-время, а свободные частицы и световые лучи следуют геодезическим линиям — наиболее прямым возможным путям в этой искривленной геометрии; относительное изгибание близлежащих геодезических линий — это то, что мы воспринимаем как гравитационные приливные силы.

Definition

Искривление пространства-времени — это отклонение геометрии пространства-времени от плоской, количественно описываемое тензором кривизны Римана, а геодезическая линия — это мировая линия свободно падающей частицы, полученная путем параллельного переноса ее собственного касательного вектора и экстремизации собственного времени.

Scope

Эта тема охватывает геодезические линии как мировые линии экстремальной длины и геодезическое уравнение, параллельный перенос и связность, тензор кривизны Римана и его свертки, геодезическое отклонение как меру приливных эффектов, а также то, как кривизна воспроизводит и корректирует ньютоновское гравитационное притяжение в пределе слабого поля.

Core questions

• Что означает, что пространство-время искривлено, а не плоско?
• Почему свободно падающие тела движутся по геодезическим линиям?
• Как геодезическое отклонение объясняет приливные гравитационные силы?

Key concepts

• Геодезическая линия
• Аффинная связность и символы Кристоффеля
• Параллельный перенос
• Тензор кривизны Римана
• Геодезическое отклонение
• Приливные силы

Key theories

Геодезическое уравнение

Свободно падающая частица движется по геодезической линии, которая экстремизирует ее собственное время, удовлетворяя уравнению, в котором коэффициенты связности кодируют гравитационное поле, так что гравитация становится инерционным движением в искривленном пространстве-времени.

Кривизна Римана и геодезическое отклонение

Тензор Римана измеряет нарушение параллельного переноса по замкнутому контуру и определяет, как соседние геодезические линии ускоряются друг к другу или отталкиваются друг от друга, отождествляя кривизну с наблюдаемыми приливными силами гравитации.

Clinical relevance

Геодезические линии определяют орбиты планет и космических аппаратов в релятивистских гравитационных полях, пути света, вызывающие гравитационное линзирование, и прецессию орбит, таких как перигелий Меркурия; кривизна также описывает приливное растяжение, испытываемое вблизи компактных объектов.

History

Геометрия искривленных пространств была создана Гауссом и Риманом в девятнадцатом веке; Леви-Чивита и Риччи разработали тензорное исчисление и параллельный перенос в 1900-х годах, а Эйнштейн применил эти инструменты для выражения гравитации как кривизны, при этом геодезические линии заменили траектории силы Ньютона.

Key figures

• Bernhard Riemann
• Albert Einstein
• Tullio Levi-Civita

Seminal works

• wald1984
• mtw1973

Frequently asked questions

Если геодезические линии являются самыми прямыми путями, почему орбиты выглядят изогнутыми?

Орбиты прямые в том смысле, что они являются геодезическими линиями искривленного четырехмерного пространства-времени; их кажущаяся кривизна в пространстве возникает потому, что само пространство-время искривлено массой, поэтому локально самая прямая мировая линия проецируется на изогнутый пространственный путь.

Как отличить кривизну от простого выбора координат?

Координатные эффекты могут быть устранены путем изменения координат, но истинная кривизна проявляется в тензоре Римана и в приливном геодезическом отклонении, которые не могут быть устранены преобразованиями и присутствуют везде, где действует реальная гравитация.