Кривизна и сравнительная геометрия

Кривизна измеряет, насколько риманово многообразие отклоняется от плоскости, а сравнительная геометрия показывает, как ограничения на кривизну накладывают ограничения на расстояния, объем и топологию многообразия.

Definition

Кривизна — это тензорная мера некоммутативности ковариантного дифференцирования, эквивалентная локальному отклонению риманова многообразия от евклидовой плоскостности; сравнительная геометрия выводит глобальные метрические и топологические следствия из неравенств на секционную кривизну или кривизну Риччи.

Scope

Эта тема определяет тензор кривизны Римана и его свертки — секционную, кривизну Риччи и скалярную кривизну — а также их геометрический смысл через поведение близлежащих геодезических, кодируемое полями Якоби и второй вариацией длины дуги. В ней разрабатываются основные теоремы сравнения: Бонне-Майерса, ограничивающая диаметр при положительной кривизне Риччи, теорема Картана-Адамара о неположительной кривизне, сравнение Рауха и сравнение объемов Бишопа-Громова, иллюстрирующие, как кривизна контролирует глобальную геометрию и топологию.

Core questions

• Как тензор кривизны количественно определяет неспособность параллельного переноса быть независимым от пути?
• Какую различную геометрическую информацию несут секционная, кривизна Риччи и скалярная кривизна?
• Как поля Якоби связывают кривизну с расхождением или фокусировкой геодезических?
• Как ограничения кривизны ограничивают диаметр, объем и топологию многообразия?

Key concepts

• Тензор кривизны Римана
• Секционная, кривизна Риччи и скалярная кривизна
• Поля Якоби и вторая вариация длины
• Теоремы Бонне-Майерса и Картана-Адамара
• Теоремы сравнения Рауха и Бишопа-Громова

Clinical relevance

Кривизна является гравитационным полем общей теории относительности через тензор Риччи и уравнения Эйнштейна, а сравнительная геометрия обеспечивает аналитический контроль, лежащий в основе потока Риччи и разрешения гипотез Пуанкаре и геометризации, а также границ, используемых в геометрическом анализе и спектральной геометрии.

History

Риман определил секционную кривизну в 1854 году; глобальные теоремы сравнения Бонне, Майерса, Картана, Адамара и Рауха развивались в первой половине 20 века, а сравнение объемов Громова и методы метрической геометрии 1980-х годов превратили эту область в изучение пространств, контролируемых кривизной.

Key figures

• Bernhard Riemann
• Élie Cartan
• Mikhail Gromov

Seminal works

• lee1997
• docarmo1992

Frequently asked questions

В чем разница между секционной, кривизной Риччи и скалярной кривизной?

Секционная кривизна измеряет кривизну двумерных касательных плоскостей; кривизна Риччи усредняет секционные кривизны в направлениях, проходящих через вектор; скалярная кривизна усредняет далее до одного числа в каждой точке. Каждая из них является последовательно более грубым обобщением.

Как кривизна влияет на топологию?

Ограничения на кривизну ограничивают форму: согласно Бонне-Майерсу, положительная кривизна Риччи, ограниченная снизу, вынуждает компактное многообразие с конечной фундаментальной группой, тогда как согласно Картану-Адамару, полная односвязная неположительная кривизна делает многообразие диффеоморфным евклидову пространству.