Метрический тензор и дифференциальная геометрия

Метрический тензор определяет расстояния и время в пространстве-времени, а дифференциальная геометрия многообразий предоставляет инструменты, ковариантные производные, связности и тензоры кривизны, необходимые для описания физики на искривленном фоне.

Definition

Метрический тензор — это симметричное, невырожденное тензорное поле второго ранга, которое определяет интервал пространства-времени и скалярное произведение векторов, из которых выводятся единственная связность без кручения, совместимая с метрикой, и все величины кривизны общей теории относительности.

Scope

Эта тема охватывает многообразия и координатные карты, касательные векторы и ковекторы (один-формы), метрический тензор и линейный элемент, поднятие и опускание индексов, связность Леви-Чивиты и символы Кристоффеля, ковариантное дифференцирование и тензоры кривизны (Римана, Риччи, скалярная), которые строятся из метрики.

Core questions

• Как метрический тензор кодирует всю геометрическую информацию о пространстве-времени?
• Почему ковариантная производная необходима вместо обычных частных производных?
• Как тензоры кривизны строятся из метрики?

Key concepts

• Многообразие и координатная карта
• Касательные векторы и ковекторы (один-формы)
• Метрический тензор и линейный элемент
• Символы Кристоффеля
• Ковариантная производная
• Кривизна Риччи и скалярная кривизна

Key theories

Метрика и линейный элемент

Метрический тензор определяет квадрат интервала между близлежащими событиями и скалярное произведение векторов, так что длины, углы, времена и причинно-следственные связи следуют из единого симметричного тензорного поля на многообразии.

Связность Леви-Чивиты и кривизна

Совместимость с метрикой и отсутствие кручения выделяют единственную связность, символы Кристоффеля которой определяют ковариантное дифференцирование и параллельный перенос, из которых строятся кривизны Римана, Риччи и скалярная кривизна.

Clinical relevance

Метрика и тензорное исчисление являются рабочими инструментами для каждого количественного предсказания в общей теории относительности, от записи решений, таких как метрики Шварцшильда и Фридмана, до выполнения численных релятивистских симуляций, используемых для моделирования слияний черных дыр и нейтронных звезд.

History

Риман обобщил внутреннюю геометрию Гаусса на многомерные многообразия в 1854 году; Кристоффель, Риччи и Леви-Чивита разработали абсолютное дифференциальное исчисление тензоров в последующие десятилетия, предоставив именно тот аппарат, который Эйнштейн и Гроссманн использовали для формулировки общей теории относительности.

Key figures

• Bernhard Riemann
• Gregorio Ricci-Curbastro
• Tullio Levi-Civita
• Elwin Bruno Christoffel

Seminal works

• wald1984
• carroll2004

Frequently asked questions

Почему общей теории относительности нужна ковариантная производная?

Обычные частные производные компонент тензора не преобразуются как тензоры при произвольных изменениях координат; ковариантная производная добавляет члены связности, так что дифференцирование дает истинные тензоры, и законы физики сохраняют ту же форму во всех системах координат.

Является ли метрика чем-то физическим или просто удобством координат?

Метрика является физическим полем: это гравитационное поле общей теории относительности, определяющее измеримые интервалы и движение материи, и ее динамика фиксируется уравнениями поля Эйнштейна, а не выбирается произвольно.