Когомологии

Когомологии дуализируют гомологии, чтобы приписать коцепям пространство, и, что крайне важно, несут кольцевую структуру — произведение Кэп (cup product) — которая различает пространства, неразличимые только гомологиями.

Definition

Когомологии приписывают пространству последовательность абелевых групп, полученных как циклы по модулю границ в коцепном комплексе, дуальном сингулярному цепному комплексу; с произведением Кэп они образуют градуированно-коммутативное кольцо, которое является более тонким инвариантом, чем гомологии.

Scope

Эта тема развивает когомологии как гомологии дуального коцепного комплекса, связанные с гомологиями теоремой об универсальных коэффициентах, и добавляет мультипликативную структуру, задаваемую произведением Кэп, которая делает общие когомологии градуированным кольцом. Она охватывает когомологии де Рама на гладких многообразиях и их идентификацию с сингулярными когомологиями посредством теоремы де Рама, произведения Кэп и Кэп (cap product), а также двойственность Пуанкаре, связывающую когомологии ориентированного замкнутого многообразия с его гомологиями. Включены теорема Кюннета и применения характеристических классов.

Core questions

• Как когомологии связаны с гомологиями через теорему об универсальных коэффициентах?
• Какую дополнительную информацию кодирует кольцевая структура произведения Кэп помимо базовых групп?
• Как двойственность Пуанкаре связывает когомологии и гомологии ориентированного замкнутого многообразия?
• Почему теорема де Рама отождествляет когомологии гладких дифференциальных форм с топологическими когомологиями?

Key concepts

• Коцепные комплексы и теорема об универсальных коэффициентах
• Произведение Кэп и когомологическое кольцо
• Произведение Кэп (cap product) и двойственность Пуанкаре
• Когомологии де Рама и теорема де Рама
• Теорема Кюннета для произведений

Clinical relevance

Когомологическое кольцо является естественным местом для характеристических классов, теории препятствий и произведений пересечений, что делает когомологии центральными для дифференциальной геометрии, топологии расслоенных пространств и калибровочной теории в математической физике.

History

Когомологии возникли в 1930-х годах из работ де Рама, Чеха, Александера и Колмогорова; произведение Кэп, введенное Уитни и другими, выявило мультипликативную структуру, невидимую для гомологий, а теорема де Рама связала гладкие и топологические теории, закрепив центральную роль когомологий.

Key figures

• Georges de Rham
• Eduard Čech
• Hassler Whitney

Seminal works

• hatcher2002
• bredon1993

Frequently asked questions

Зачем использовать когомологии, если гомологии уже обнаруживают «дыры»?

Когомологии обладают кольцевой структурой через произведение Кэп, которой нет у гомологий; пространства с идентичными гомологическими группами могут иметь разные когомологические кольца, поэтому когомологии являются строго более тонким инвариантом.

Что утверждает двойственность Пуанкаре?

Для ориентированного замкнутого n-многообразия k-е когомологии изоморфны (n-k)-м гомологиям; геометрически это связывает циклы с циклами дополнительной размерности через пересечение.