Теория гомотопий

Теория гомотопий изучает пространства с точностью до непрерывной деформации, обобщая фундаментальную группу до высших гомотопических групп и организуя отображения посредством расслоений, корасслоений и CW-аппроксимации.

Definition

Теория гомотопий изучает топологические пространства и отображения с точностью до гомотопии — непрерывной деформации — используя высшие гомотопические группы (гомотопические классы отображений из сфер) и структуры расслоений и CW-комплексов, которые делают эти инварианты поддающимися изучению.

Scope

Эта тема определяет высшие гомотопические группы, которые являются абелевыми для размерности не менее двух, и разрабатывает инструменты, которые вычисляют и связывают их: расслоения и длинную точную последовательность расслоения, теорему Гуревича, связывающую гомотопию и гомологию, теорему Уайтхеда о слабых эквивалентностях CW-комплексов и теорию препятствий. Она рассматривает (в значительной степени открытую) проблему гомотопических групп сфер, пространств Эйленберга-Маклейна, представляющих когомологии, и категорный подход к моделям, который абстрактно формулирует теорию гомотопий.

Core questions

• Как высшие гомотопические группы расширяют фундаментальную группу и почему они абелевы в размерности выше единицы?
• Как длинная точная последовательность расслоения вычисляет гомотопические группы из более простых частей?
• Что говорит теорема Гуревича о первой ненулевой гомотопической группе и ее связи с гомологией?
• Почему гомотопические группы сфер так сложны, и какая структура их организует?

Key concepts

• Высшие гомотопические группы и их абелева структура
• Расслоения, корасслоения и длинная точная последовательность расслоения
• Теорема Гуревича и теорема Уайтхеда
• Пространства Эйленберга-Маклейна и представимость когомологий
• CW-аппроксимация и теория препятствий

Clinical relevance

Теория гомотопий является абстрактной основой современной топологии и предоставляет язык стабильных явлений, классифицируя пространства для расслоений и калибровочных теорий, а также гомотопические методы, используемые в алгебре, алгебраической геометрии и математической физике.

History

Гуревич ввел высшие гомотопические группы в 1930-х годах; спектральная последовательность Серра и работы Уайтхеда и других сделали вычисления возможными, а модельные категории Квиллена (1967) абстрагировали теорию гомотопий в структуру, применимую далеко за пределами топологии.

Key figures

• Witold Hurewicz
• J. H. C. Whitehead
• Daniel Quillen

Seminal works

• hatcher2002
• bredon1993

Frequently asked questions

Почему высшие гомотопические группы абелевы, а фундаментальная группа может не быть таковой?

Для размерности не менее двух достаточно места, чтобы переставить два сфероида друг относительно друга с помощью аргумента Экмана-Хилтона, что приводит к коммутативности; в размерности один петли не могут быть сдвинуты друг относительно друга таким образом.

Известны ли гомотопические группы сфер?

Только частично. Несмотря на огромные усилия, они вычислены лишь в определенном диапазоне размерностей, и их определение в общем случае остается одной из глубочайших открытых проблем в топологии.