Распределение Больцмана

Распределение Больцмана описывает наиболее вероятный способ, которым большое количество молекул распределяет фиксированное количество энергии, определяя зависимость заселенности каждого энергетического уровня от его энергии и температуры.

Definition

Распределение Больцмана — это равновесное распределение молекул по их доступным энергетическим уровням, в котором заселенность уровня экспоненциально уменьшается с его энергией относительно тепловой энергии.

Scope

Эта тема охватывает распределение Больцмана и его следствия: вывод наиболее вероятного распределения путем максимизации числа микросостояний при фиксированной общей энергии и числе частиц, фактор Больцмана, который взвешивает каждый уровень, и роль температуры в определении того, как энергия распределяется по уровням. Она включает распределение Максвелла-Больцмана молекулярных скоростей и энергий в газе, значение шкалы тепловой энергии и связь с статистической суммой. Механизм статистической суммы и интерпретация энтропии развиваются в смежных темах.

Core questions

• Как распределение Больцмана выводится как наиболее вероятное распределение молекул по энергетическим уровням?
• Как фактор Больцмана выражает относительную заселенность двух уровней?
• Как температура контролирует распределение заселенности по уровням?
• Как распределение Максвелла-Больцмана описывает молекулярные скорости в газе?

Key concepts

• Фактор Больцмана
• Наиболее вероятное распределение
• Шкала тепловой энергии
• Распределение скоростей Максвелла-Больцмана
• Температура и заселенность уровней

Key theories

Закон распределения Больцмана

Среди всех способов распределения молекул по энергетическим уровням при фиксированной общей энергии, подавляюще наиболее вероятный способ взвешивает каждый уровень экспоненциальным множителем его энергии, так что более высокие уровни становятся прогрессивно менее заселенными по мере увеличения энергии относительно тепловой шкалы.

Распределение скоростей Максвелла-Больцмана

Применение фактора Больцмана к кинетической энергии молекул газа дает распределение молекулярных скоростей, которое расширяется и смещается к более высоким скоростям по мере увеличения температуры, что лежит в основе кинетической теории и скоростей столкновений.

Clinical relevance

Распределение Больцмана объясняет, почему скорости реакций резко возрастают с температурой, определяет заселенности, исследуемые в спектроскопии, и интенсивности спектральных линий, а также управляет тепловым распределением состояний, лежащих в основе лазеров, полупроводников и химических равновесий.

History

Максвелл вывел распределение молекулярных скоростей в 1860 году, а Больцман обобщил его на распределение по энергетическим уровням в 1870-х годах; результат стал одним из краеугольных камней статистической механики и кинетической теории газов.

Key figures

• Ludwig Boltzmann
• James Clerk Maxwell
• Josiah Willard Gibbs

Seminal works

• mcquarrie1997
• atkins2018

Frequently asked questions

Почему более высокие энергетические уровни менее заселены?

Распределение фиксированного количества энергии между множеством молекул приводит к тому, что конфигурации, в которых энергия сосредоточена на нескольких высоких уровнях, гораздо менее многочисленны, чем те, в которых она распределена; фактор Больцмана количественно выражает это, поэтому заселенность экспоненциально уменьшается с энергией.

Что происходит с распределением при повышении температуры?

Более высокая температура означает, что доступно больше тепловой энергии, поэтому верхние энергетические уровни становятся более доступными, и заселенность распространяется дальше вверх по лестнице состояний; в газе это смещает распределение скоростей к более высоким скоростям и расширяет его.