Homomorfismo de Anéis

Um homomorfismo de anéis é um mapeamento que preserva a estrutura entre anéis, o morfismo da teoria dos anéis cujo núcleo é um ideal e cuja imagem é um subanel, regido pelos teoremas do isomorfismo.

Definition

Um homomorfismo de anéis é uma função entre anéis que preserva a adição, a multiplicação e (por convenção) a identidade multiplicativa, de modo que as operações algébricas são respeitadas.

Scope

Este tópico abrange a definição de homomorfismos e isomorfismos de anéis, núcleos e imagens, os quatro teoremas do isomorfismo para anéis, a característica e o subanel primo, e as propriedades universais dos anéis quociente e dos mapeamentos de avaliação.

Core questions

• O que significa para um mapeamento preservar a estrutura de um anel?
• Como o núcleo e a imagem de um homomorfismo se relacionam com ideais e subanéis?
• Como os teoremas do isomorfismo fatoram um homomorfismo através de um quociente?
• Como os mapeamentos de avaliação e redução surgem como homomorfismos de anéis?

Key theories

Primeiro teorema do isomorfismo para anéis

Todo homomorfismo de anéis se fatora como uma sobrejeção em sua imagem seguida por uma inclusão, e sua imagem é isomorfa ao quociente do domínio por seu núcleo, que é um ideal.

Teoremas de correspondência e isomorfismo

Quocientar por um ideal estabelece uma bijeção entre os ideais que o contêm e os ideais do quociente, e o segundo, terceiro e quarto teoremas do isomorfismo descrevem como subanéis, ideais e quocientes interagem sob homomorfismos.

Propriedade universal dos quocientes

Um homomorfismo cujo núcleo contém um dado ideal se fatora unicamente através do quociente por esse ideal, de modo que os anéis quociente são universais entre as imagens homomórficas que anulam o ideal.

Clinical relevance

Homomorfismos de anéis formalizam as operações básicas da álgebra: a redução módulo um inteiro ou polinômio, a avaliação de polinômios e a inclusão de um anel em um maior são todos homomorfismos. Eles transformam anéis em uma categoria e são os mapeamentos através dos quais a estrutura e o cálculo são transferidos na teoria dos números e na geometria algébrica.

History

Os teoremas do homomorfismo e do isomorfismo foram abstraídos da teoria de grupos para anéis como parte do programa de álgebra estrutural de Emmy Noether na década de 1920, unificando construções que haviam sido tratadas caso a caso na teoria dos números e na teoria das equações.

Key figures

• Emmy Noether
• Richard Dedekind
• Emil Artin

Seminal works

• dummit2004
• hungerford1974
• lang2002

Frequently asked questions

Por que o núcleo de um homomorfismo de anéis deve ser um ideal?

O núcleo é fechado sob adição e, como o mapeamento envia produtos para produtos e a imagem de um elemento do núcleo é zero, ele absorve a multiplicação por qualquer elemento do anel. Essa propriedade de absorção é exatamente a definição de um ideal.

Qual é um exemplo de homomorfismo de anéis na álgebra cotidiana?

A redução de inteiros módulo n, a avaliação de um polinômio em um número fixo e a conjugação complexa são todos homomorfismos de anéis. Cada um preserva somas e produtos, e os teoremas do isomorfismo descrevem suas imagens como anéis quociente.