Cálculo de Variações
O cálculo de variações busca funções que extremizam funcionais integrais, generalizando a maximização e minimização ordinárias de pontos para curvas e campos.
Definition
O cálculo de variações estuda funcionais, que atribuem números a funções, e busca as funções nas quais um funcional é estacionário ou atinge um valor extremo, sujeito a condições de contorno e laterais.
Scope
Esta área abrange a derivação das equações de Euler-Lagrange como condições necessárias para um extremal, problemas variacionais com restrições e fronteiras livres, condições de segunda variação e convexidade para mínimos, o método direto que estabelece a existência de minimizadores, e a conexão com a mecânica hamiltoniana e o controle ótimo.
Sub-topics
Core questions
- Quais funções tornam um dado funcional integral estacionário?
- Quais condições necessárias e suficientes identificam um minimizador?
- Quando um minimizador realmente existe?
- Como os princípios variacionais codificam as leis da física?
Key theories
- Equações de Euler-Lagrange
- Uma função que extremiza um funcional integral deve satisfazer a equação diferencial de Euler-Lagrange, o análogo variacional de igualar uma derivada a zero.
- Método direto
- A existência de um minimizador é estabelecida tomando uma sequência minimizadora e usando compacidade e semicontinuidade inferior, contornando a solução explícita da equação de Euler-Lagrange.
- Princípios variacionais na física
- O princípio de Hamilton da ação estacionária reformula a mecânica e a teoria de campos como problemas variacionais, unificando suas equações governantes através do cálculo de variações.
Clinical relevance
Os métodos variacionais expressam leis fundamentais em toda a física através dos princípios de mínima ação e mínima energia, e eles sustentam o controle ótimo, a geometria de superfícies mínimas e geodésicas, o processamento de imagens e o método de elementos finitos na engenharia.
History
O assunto começou com o problema da braquistócrona proposto por Johann Bernoulli em 1696. Euler e Lagrange desenvolveram a teoria geral e a equação de Euler-Lagrange no século XVIII, Hamilton reformulou a mecânica variacionalmente, e o método direto do século XX de Hilbert e seu vigésimo terceiro problema revitalizaram a teoria da existência.
Key figures
- Leonhard Euler
- Joseph-Louis Lagrange
- William Rowan Hamilton
- David Hilbert
Related topics
Seminal works
- gelfand1963
- courant1953
- dacorogna2008
Frequently asked questions
- Como o cálculo de variações difere do cálculo ordinário?
- O cálculo ordinário encontra pontos onde uma função é maior ou menor, enquanto o cálculo de variações encontra funções inteiras, como curvas ou superfícies, que extremizam uma integral. A incógnita é uma função em vez de um número, e a condição para um extremo é uma equação diferencial.
- O que é o princípio da mínima ação?
- É a afirmação física de que o movimento de um sistema torna uma quantidade chamada ação estacionária. A aplicação do cálculo de variações à ação produz as equações de movimento, de modo que grande parte da física clássica e quântica pode ser derivada de um único princípio variacional.