Co-homologia

A co-homologia dualiza a homologia para atribuir co-cadeias a um espaço e, crucialmente, possui uma estrutura de anel — o produto cup — que distingue espaços que a homologia sozinha não consegue.

Definition

A co-homologia atribui a um espaço uma sequência de grupos abelianos obtidos como ciclos módulo fronteiras no complexo de co-cadeias dual ao complexo de cadeias singular; com o produto cup, forma um anel graduado-comutativo que é um invariante mais fino do que a homologia.

Scope

Este tópico desenvolve a co-homologia como a homologia do complexo de co-cadeias dual, relacionada à homologia pelo teorema do coeficiente universal, e adiciona a estrutura multiplicativa dada pelo produto cup que torna a co-homologia total um anel graduado. Abrange a co-homologia de de Rham em variedades suaves e sua identificação com a co-homologia singular via o teorema de de Rham, os produtos cup e cap, e a dualidade de Poincaré que relaciona a co-homologia de uma variedade fechada orientada à sua homologia. O teorema de Künneth e as aplicações de classes características são incluídos.

Core questions

• Como a co-homologia se relaciona com a homologia através do teorema do coeficiente universal?
• Que informação adicional a estrutura de anel do produto cup codifica além dos grupos subjacentes?
• Como a dualidade de Poincaré liga a co-homologia e a homologia de uma variedade fechada orientada?
• Por que o teorema de de Rham identifica a co-homologia de formas diferenciais suaves com a co-homologia topológica?

Key concepts

• Complexos de co-cadeias e o teorema do coeficiente universal
• Produto cup e o anel de co-homologia
• Produto cap e dualidade de Poincaré
• Co-homologia de de Rham e o teorema de de Rham
• Teorema de Künneth para produtos

Clinical relevance

O anel de co-homologia é o lar natural das classes características, da teoria da obstrução e dos produtos de intersecção, tornando a co-homologia central para a geometria diferencial, a topologia de fibrados e a teoria de gauge na física matemática.

History

A co-homologia surgiu na década de 1930 a partir do trabalho de de Rham, Čech, Alexander e Kolmogorov; o produto cup introduzido por Whitney e outros revelou uma estrutura multiplicativa invisível para a homologia, e o teorema de de Rham uniu as teorias suave e topológica, fixando o papel central da co-homologia.

Key figures

• Georges de Rham
• Eduard Čech
• Hassler Whitney

Seminal works

• hatcher2002
• bredon1993

Frequently asked questions

Por que usar co-homologia se a homologia já detecta buracos?

A co-homologia possui uma estrutura de anel via o produto cup que a homologia não tem; espaços com grupos de homologia idênticos podem ter anéis de co-homologia diferentes, então a co-homologia é um invariante estritamente mais fino.

O que diz a dualidade de Poincaré?

Para uma n-variedade fechada orientada, a k-ésima co-homologia é isomórfica à (n-k)-ésima homologia; geometricamente, ela emparelha ciclos com ciclos de dimensão complementar através da intersecção.