Variedades Diferenciáveis

Uma variedade diferenciável é um espaço que localmente se assemelha ao espaço euclidiano e é unido por mudanças de coordenadas suaves, tornando-se o cenário onde o cálculo pode ser realizado em espaços curvos.

Definition

Uma variedade diferenciável (suave) de dimensão n é um espaço topológico de Hausdorff com segunda contabilidade equipado com um atlas de cartas para subconjuntos abertos do espaço euclidiano n-dimensional cujos mapas de transição são infinitamente diferenciáveis.

Scope

Este tópico define variedades por meio de atlas de cartas com mapas de transição suaves, desenvolve estruturas suaves e trata das construções básicas: subvariedades, os teoremas de posto e valor regular que apresentam conjuntos de nível como variedades, partições da unidade e imersões no espaço euclidiano (o teorema de imersão de Whitney). Introduz a distinção entre estruturas topológicas e suaves, a existência surpreendente de estruturas suaves exóticas e grupos de Lie como variedades com operações de grupo compatíveis.

Core questions

• Como as cartas e os mapas de transição suaves permitem que o cálculo seja transportado para um espaço curvo de forma inequívoca?
• Quando um conjunto de nível de um mapa suave possui uma estrutura de variedade natural?
• Por que toda variedade suave pode ser imersa em algum espaço euclidiano?
• Como uma única variedade topológica pode admitir estruturas suaves não equivalentes?

Key concepts

• Cartas, atlas e mapas de transição suaves
• Estruturas suaves e subvariedades
• Teorema do valor regular e conjuntos de nível como variedades
• Partições da unidade e o teorema de imersão de Whitney
• Estrutura topológica versus suave e variedades exóticas

Clinical relevance

As variedades são o palco universal para a geometria e a física modernas: espaços de configuração e fase na mecânica, espaço-tempo na relatividade geral e grupos de Lie na simetria são todos variedades, e as sutilezas da estrutura suave descobertas por Milnor remodelaram a topologia do século XX.

History

A noção de variedade de Riemann de 1854 foi rigorosamente definida através da definição por atlas no início do século XX; os teoremas de imersão de Whitney da década de 1930 fundamentaram a teoria abstrata, e a descoberta de Milnor em 1956 de 7-esferas exóticas revelou que a estrutura suave carrega informações além da topologia.

Key figures

• Bernhard Riemann
• Hassler Whitney
• John Milnor

Seminal works

• lee2012
• milnor1956

Frequently asked questions

O que torna uma variedade diferenciável em vez de apenas topológica?

Uma variedade topológica requer apenas cartas para o espaço euclidiano; uma variedade diferenciável exige adicionalmente que os mapas de transição entre cartas sobrepostas sejam suaves, de modo que a noção de uma função suave na variedade seja bem definida.

O que é uma esfera exótica?

É uma variedade homeomórfica, mas não difeomórfica, à esfera padrão; a descoberta de Milnor de tais estruturas na 7-esfera mostrou que as estruturas suaves não são determinadas pela topologia subjacente.