Teoria da Homotopia

A teoria da homotopia estuda espaços até a deformação contínua, generalizando o grupo fundamental para grupos de homotopia superiores e organizando mapas através de fibrações, cofibras e aproximação CW.

Definition

A teoria da homotopia estuda espaços topológicos e mapas até a homotopia — deformação contínua — usando os grupos de homotopia superiores (classes de homotopia de mapas de esferas) e as estruturas de fibrações e complexos CW que tornam esses invariantes tratáveis.

Scope

Este tópico define grupos de homotopia superiores, que são abelianos para dimensão de pelo menos dois, e desenvolve as ferramentas que os calculam e relacionam: fibrações e a sequência exata longa de uma fibração, o teorema de Hurewicz conectando homotopia e homologia, o teorema de Whitehead sobre equivalências fracas de complexos CW, e a teoria da obstrução. Ele examina o problema (em grande parte em aberto) dos grupos de homotopia de esferas, espaços de Eilenberg-MacLane representando cohomologia, e o ponto de vista da teoria de modelos que enquadra a teoria da homotopia de forma abstrata.

Core questions

• Como os grupos de homotopia superiores estendem o grupo fundamental, e por que eles são abelianos acima da dimensão um?
• Como a sequência exata longa de uma fibração calcula grupos de homotopia a partir de peças mais simples?
• O que o teorema de Hurewicz diz sobre o primeiro grupo de homotopia não nulo e sua relação com a homologia?
• Por que os grupos de homotopia de esferas são tão difíceis, e qual estrutura os organiza?

Key concepts

• Grupos de homotopia superiores e sua estrutura abeliana
• Fibrações, cofibras e a sequência exata longa de uma fibração
• Teorema de Hurewicz e teorema de Whitehead
• Espaços de Eilenberg-MacLane e representabilidade da cohomologia
• Aproximação CW e teoria da obstrução

Clinical relevance

A teoria da homotopia é a espinha dorsal abstrata da topologia moderna e fornece a linguagem de fenômenos estáveis, classificando espaços para feixes e teorias de calibre, e os métodos homotópicos agora usados em álgebra, geometria algébrica e física matemática.

History

Hurewicz introduziu grupos de homotopia superiores na década de 1930; a sequência espectral de Serre e o trabalho de Whitehead e outros tornaram o cálculo possível, e as categorias de modelos de Quillen (1967) abstraíram a teoria da homotopia para um arcabouço aplicável muito além da topologia.

Key figures

• Witold Hurewicz
• J. H. C. Whitehead
• Daniel Quillen

Seminal works

• hatcher2002
• bredon1993

Frequently asked questions

Por que os grupos de homotopia superiores são abelianos, mas o grupo fundamental não precisa ser?

Para dimensão de pelo menos dois, há espaço suficiente para comutar dois esferoides um pelo outro através do argumento de Eckmann-Hilton, forçando a comutatividade; em dimensão um, os laços não podem ser deslizados um pelo outro dessa forma.

Os grupos de homotopia de esferas são conhecidos?

Apenas parcialmente. Apesar de um enorme esforço, eles são calculados apenas em uma faixa de dimensões, e determiná-los em geral permanece um dos problemas abertos mais profundos da topologia.