최소 작용 원리

최소 작용 원리는 시스템이 두 구성 사이에서 따르는 물리적 경로는 작용 적분이 정지하는 경로라고 설명합니다.

Definition

최소 작용 원리는 기계 시스템이 경로의 양 끝점을 고정한 상태에서 경로의 작은 변화에 대해 라그랑지안을 시간에 대해 적분한 작용이 정지하는 궤적을 따라 진화한다는 주장입니다.

Scope

이 주제는 라그랑지안의 시간 적분으로서의 작용 범함수, 해밀턴의 정지 작용 원리, 물리적 경로를 추출하는 데 사용되는 변분법, 그리고 오래된 모페르튀이(Maupertuis)의 원리(단축 작용)와 해밀턴의 원리 간의 구별을 다룹니다. 이는 단일 변분 진술이 역학 전체를 어떻게 부호화할 수 있는지에 대한 동기를 부여합니다.

Core questions

• 작용이란 무엇이며, 그것이 정지한다는 것은 무엇을 의미합니까?
• 해밀턴의 원리는 오래된 모페르튀이의 최소 작용 원리와 어떻게 다릅니까?
• 단일 변분 원리가 뉴턴 역학 전체를 재현할 수 있는 이유는 무엇입니까?

Key concepts

• 작용 범함수
• 변분법
• 정지 (극값) 경로
• 끝점 (경계) 조건
• 단축 작용

Key theories

해밀턴의 원리

구성 공간에서 끝점이 고정된 모든 경로 중에서 물리적 운동은 작용 적분의 첫 번째 변분이 0이 되어 작용이 정지하는 경로입니다.

모페르튀이의 단축 작용 원리

초기 변분 형태는 에너지를 고정하고 구성 공간의 경로에 대해 단축 작용을 정지하게 만듭니다. 이는 적절한 조건에서 해밀턴의 원리와 동등합니다.

Clinical relevance

작용 원리는 고전 물리학에서 현대 물리학으로 넘어가는 개념적 다리입니다. 이는 상대론적 장론으로 일반화되며, 모든 경로가 작용에 의해 가중되어 기여하는 파인만의 양자 역학 경로-적분 공식의 기초를 제공합니다.

History

모페르튀이(Maupertuis)는 1740년대에 형이상학적 근거로 최소 작용 원리를 제안했으며, 오일러(Euler)와 라그랑주(Lagrange)는 변분법을 통해 이를 확고한 수학적 기반 위에 올려놓았습니다. 해밀턴(Hamilton)은 1830년대에 이를 시간 경과에 따른 정지 작용의 현대적 원리로 재구성했으며, 이는 라그랑주 역학과 해밀턴 역학 모두의 통일된 출발점이 되었습니다.

Key figures

• Pierre Louis Maupertuis
• Leonhard Euler
• Joseph-Louis Lagrange
• William Rowan Hamilton

Seminal works

• lanczos1970
• goldstein2002

Frequently asked questions

작용은 실제로 최소화됩니까?

자주 그렇지만 항상 그런 것은 아닙니다. 정의 조건은 작용이 정지한다는 것으로, 이는 첫 번째 변분이 사라진다는 것을 의미합니다. 충분히 긴 경로의 경우 정지점은 최소값이 아니라 안장점이 될 수 있습니다.

이 원리는 양자 역학과 어떻게 관련됩니까?

파인만의 경로 적분에서 양자 진폭은 작용의 지수 함수로 가중된 모든 경로의 기여를 합산합니다. 고전적인 최소 작용 경로는 인접한 기여가 건설적으로 더해지는 곳에서 나타납니다.