집합론적 역설과 유형 이론

자신을 포함하지 않는 모든 집합의 집합은 자신을 포함하기도 하고 포함하지 않기도 합니다. 러셀의 역설은 순진한 집합론을 뒤엎고 논리학의 기초를 재정립했습니다.

Definition

집합론적 역설은 모든 조건이 집합을 정의한다는 무제한적인 포괄 원리(unrestricted comprehension principle)로부터 순진한 집합론(naive set theory)에서 도출될 수 있는 모순입니다. 유형 이론(type theory)은 개체들을 유형의 계층으로 정렬하고 집합이 자신에 속하는 것을 금지함으로써 이러한 역설을 차단합니다.

Scope

이 주제는 논리적 및 집합론적 역설과 그로 인해 촉발된 근본적인 대응들을 다룹니다. 자신을 원소로 갖지 않는 모든 집합의 집합에 대한 러셀의 역설, 가장 큰 서수의 부랄리-포르티 역설, 그리고 보편 집합의 칸토어 역설을 다룹니다. 악순환 원리(vicious-circle principle)를 통한 러셀의 진단과 그 결과로 나타난 『수학 원리(Principia Mathematica)』의 분지 유형 이론(ramified theory of types), 그리고 역설을 피하기 위해 포괄 원리(comprehension)를 제한하는 공리적 (체르멜로-프렝켈) 집합론의 대안적 대응을 다룹니다.

Core questions

• 순진한 집합론에서 러셀의 역설을 발생시키는 가정은 무엇입니까?
• 역설을 피하기 위해 악순환 원리와 유형 제한이 필요합니까?
• 유형 이론과 공리적 집합론은 대응 방식에서 어떻게 다릅니까?
• 논리적 역설과 의미론적 역설은 근본적으로 동일합니까?

Key concepts

• 무제한적 포괄 원리
• 러셀의 역설
• 부랄리-포르티 및 칸토어의 역설
• 악순환 원리
• 유형 이론
• 분리 공리

Key theories

분지 유형 이론

러셀은 악순환 원리와 유형의 계층을 통해 역설을 차단합니다. 이 계층에서 개체는 계층상 더 낮은 개체에 대해서만 정의될 수 있으므로, 자기 원소 포함 및 자기 적용적 정의를 방지합니다.

제한된 포괄 원리

공리적 집합론(체르멜로-프렝켈)은 무제한적 포괄 원리를 분리 및 치환 공리로 대체하여, 자신을 원소로 갖지 않는 모든 집합의 집합이 형성될 수 없도록 함으로써 유형 계층 없이 러셀의 역설을 해소합니다.

History

러셀은 1901년 프레게의 논리주의를 연구하던 중 자신의 역설을 발견하여 프레게의 기본 법칙 V를 훼손했습니다. 러셀의 1908년 유형 이론과 1910년 『수학 원리』는 하나의 해결책을 제시했고, 이후 프렝켈에 의해 확장된 체르멜로의 1908년 공리화는 또 다른 해결책을 제시했습니다. 이 두 접근 방식은 현대 기초론과 논리학 및 컴퓨터 과학에서 사용되는 단순 유형 이론(simple type theory)의 기반이 됩니다.

Debates

유형 이론 대 공리적 집합론

역설을 피하는 가장 좋은 방법이 악순환 원리에 기반한 유형 계층인지, 아니면 집합 존재 공리를 제한하는 것인지, 그리고 각 접근 방식이 집합, 클래스, 그리고 예측적 정의와 비예측적 정의의 본질에 대해 무엇을 의미하는지에 대한 논쟁입니다.

Key figures

• Bertrand Russell
• Alfred North Whitehead
• Gottlob Frege
• Ernst Zermelo
• Cesare Burali-Forti

Seminal works

• russell1908
• whiteheadrussell1910

Frequently asked questions

러셀의 역설을 쉽게 설명하면 무엇입니까?

자신을 원소로 갖지 않는 모든 집합의 집합 R을 생각해 보십시오. R이 자신을 원소로 갖는지 질문해 보십시오. 만약 그렇다면, 자신의 정의에 따라 자신을 원소로 갖지 않아야 합니다. 만약 그렇지 않다면, 자격을 갖추어 자신을 원소로 가져야 합니다. 어느 쪽 답변이든 다른 쪽과 모순되는데, 이는 어떤 속성이든 집합을 정의한다는 순진한 집합론의 가정이 틀렸음을 보여줍니다.