양상 체계와 그 공리

서로 다른 양상 공리는 필연성에 대한 서로 다른 개념을 부호화하며, 각각은 접근성 관계(accessibility relation)에 대한 구조적 조건에 해당합니다.

Definition

정규 양상 체계는 고전 논리의 규칙과 분배 공리 K, 그리고 필연화 규칙(necessitation rule)에 따라 닫힌 정리들의 집합이며, 접근성 관계의 속성에 해당하는 특징적 공리들을 추가함으로써 더 강력한 체계들을 얻을 수 있습니다.

Scope

이 주제는 기본 체계 K에 T(반사성), 4(전이성), B(대칭성), 5(유클리드성)와 같은 공리를 추가하여 T, S4, S5와 같은 체계를 생성하는 표준적인 정규 양상 체계(normal modal systems)의 계층 구조를 다룹니다. 양상 공리와 프레임 조건 간의 체계적인 일치인 대응 이론(correspondence theory)과 건전성(soundness), 완전성(completeness), 그리고 어떤 체계가 형이상학적, 논리적 또는 인식론적 필연성을 가장 잘 포착하는지에 대한 문제를 다룹니다.

Core questions

• 주어진 종류의 필연성을 어떤 공리들이 지배해야 하는가?
• 양상 공리는 접근성 관계의 조건과 어떻게 대응하는가?
• S5가 형이상학적 필연성의 올바른 논리인가, 아니면 더 약한 체계가 더 적절한가?
• 건전성 및 완전성 결과는 이러한 체계에 대해 무엇을 확립하는가?

Key concepts

• 체계 K와 필연화
• 공리 T, 4, B, 5
• 반사적, 전이적, 대칭적, 유클리드적 프레임
• 대응 이론
• S4와 S5
• 정준 모형을 통한 완전성

Key theories

대응 이론

각 특징적 양상 공리는 접근성 관계의 속성에 해당한다 — T는 반사성, 4는 전이성, B는 대칭성, 5는 유클리드성에 해당한다 — 따라서 한 체계는 그러한 조건을 충족하는 프레임들의 클래스에 대해 건전하고 완전하다.

엄격 함의와 루이스 체계

C. I. 루이스는 엄격 함의(strict implication)를 형식화하고 실질 함의(material implication)의 역설을 피하기 위해 S1-S5 체계를 도입했으며, 이는 양상에 대한 현대 공리적 연구의 토대가 되었다.

History

루이스(Lewis)와 랭포드(Langford)의 1932년 저서 『상징 논리학(Symbolic Logic)』은 S1-S5 체계를 공리적으로 소개했습니다. 크립키(Kripke)의 관계 의미론(relational semantics) 이후, 대응 이론은 공리와 프레임 조건 사이의 체계적인 연결을 밝혀냈고, 정준 모형(canonical-model) 구성을 통해 완전성이 확립되었으며, 이는 휴즈(Hughes)와 크레스웰(Cresswell)과 같은 교과서에 체계화되었습니다.

Debates

어떤 체계가 형이상학적 필연성을 포착하는가?

형이상학적 필연성의 논리가 강한 S5, 즉 가능한 것이 비우연적으로 가능한 것인지, 아니면 가능성의 공간 자체가 세계에 따라 달라질 수 있도록 허용하는 더 약한 체계인지에 대한 논의.

Key figures

• C. I. Lewis
• Saul Kripke
• G. E. Hughes
• M. J. Cresswell
• Johan van Benthem

Seminal works

• lewislangford1932
• hughescresswell1996

Frequently asked questions

S4와 S5의 차이점은 무엇인가요?

S4는 필연적인 것은 필연적으로 필연적이라는 공리(전이적 접근성)를 추가합니다. S5는 가능한 것은 필연적으로 가능하다는 공리(접근성 관계가 동치 관계가 됨)를 추가합니다. S5에서는 어떤 문장의 양상적 상태 자체가 비우연적이며, 많은 이들이 이것이 형이상학적 필연성에 부합한다고 생각합니다.