可観測量と量子測定

量子力学において、すべての測定可能な量はエルミート演算子によって表され、その固有値が可能な結果となります。測定は、ボルンの規則によって重み付けされた固有値の1つをランダムに返し、システムを対応する固有状態に残します。

Definition

可観測量とは、系のヒルベルト空間上の自己共役演算子であり、その固有値が可能な測定結果となります。測定は状態を固有空間に射影し、ボルンの規則によって与えられる確率で対応する固有値を返します。

Scope

このトピックは、エルミート演算子と自己共役演算子およびそれらの実スペクトル、固有値方程式とスペクトル分解、期待値とその時間依存性、可換な可観測量と両立可能な可観測量の完全集合、非可換な演算子に対する不確定性原理、および正作用素値測度によって記述される一般化された測定を扱います。

Core questions

• なぜ可観測量はエルミート演算子で表されなければならないのですか？
• 繰り返された測定の平均と広がりは、状態からどのように計算されますか？
• 2つの可観測量は、任意の精度で同時に測定できるのはどのような場合ですか？
• 不確定性原理は、非両立な可観測量について何を述べていますか？

Key concepts

• エルミート演算子
• 固有値と固有状態
• 期待値
• 可換な可観測量
• 両立可能な可観測量の完全集合
• ハイゼンベルクの不確定性

Key theories

可観測量のスペクトル定理

自己共役演算子は実固有値と正規直交固有基底を持つため、任意の可観測量は、その固有値と対応する固有空間への射影演算子の積の和、または積分に分解できます。これは測定が利用する構造そのものです。

不確定性原理

2つの可観測量について、任意の状態におけるそれらの測定の標準偏差の積は、それらの交換子の期待値の大きさの半分によって下限が定められます。したがって、位置と運動量のような非可換な量は、両方とも厳密に定義することはできません。

Clinical relevance

測定の演算子描像は、測定されたエネルギーが演算子の固有値である分光法、および期待値と両立可能な可観測量の集合が状態に関するどの程度の情報が抽出できるかを決定する量子計測学とトモグラフィーの基礎となります。不確定性原理は、センシングと顕微鏡における精度の基本的な限界を設定します。

History

ハイゼンベルクは1927年に不確定性関係を導入し、同年には演算子形式が形作られました。フォン・ノイマンの1932年の論文は、測定と自己共役演算子に厳密な基礎を与え、その後の研究は射影測定を量子情報における正作用素値測度へと一般化しました。

Debates

不確定性原理の解釈

不確定性原理が測定装置による避けられない擾乱を反映しているのか、それとも測定とは独立した量子状態の固有の性質なのかについては、ハイゼンベルク以来議論されてきました。現代の測定-擾乱関係は、これら2つの概念を区別しています。

Key figures

• Werner Heisenberg
• John von Neumann
• Paul Dirac
• Eugene Wigner

Seminal works

• vonneumann1955
• sakurai2017

Frequently asked questions

なぜ可観測量はエルミートである必要があるのですか？

エルミート演算子は実固有値を持つため、測定結果が実数であるという要件を満たします。また、完全な正規直交固有基底を持つため、ボルンの規則が一貫した結果確率の集合を割り当てることができます。

任意の2つの可観測量を同時に測定できますか？

それらの演算子が可換である場合に限ります。可換な可観測量は固有基底を共有し、同時に確定した値を割り当てることができますが、非可換な可観測量は不確定性関係に従い、同時に厳密な値を持つことはできません。