一次方程式とペル方程式

一次ディオファントス方程式はユークリッドの互除法によって完全に解かれる一方、xの2乗からd yの2乗を引いたものが1に等しいという整数解を求めるペル方程式は、連分数を通じて実二次体の深い構造を明らかにします。

Definition

一次ディオファントス方程式は、整数係数を持つ一次方程式の整数解を求めます。ペル方程式は、非平方の正の整数dに対してxの2乗からd yの2乗を引いたものが1に等しいという二次ディオファントス方程式であり、その解は無限に存在する有限生成族を形成します。

Scope

このトピックでは、2つ以上の変数を持つ一次ディオファントス方程式と、最大公約数およびベズーの等式によるその完全な解法、ペル方程式とその負の形および一般化された形、二次無理数の連分数展開、基本解とそれからすべての解がどのように生成されるか、そして実二次体の単数および基本単数との関連について扱います。

Core questions

• 一次ディオファントス方程式はいつ整数解を持つのか、そしてその完全な解集合はどのように記述されるのか？
• 非平方のdに対して、ペル方程式が常に非自明な解を持つのはなぜか？
• dの平方根の連分数展開は、どのようにして基本解を生成するのか？
• すべてのペル解は基本解からどのように生成されるのか、そしてこれは二次体の単数とどのように関連するのか？

Key theories

一次ディオファントス方程式の可解性

方程式 a x + b y = c は、aとbの最大公約数がcを割り切る場合に限り整数解を持ち、ベズーの等式はその特定の解と完全な1パラメータ族を与えます。

ペル解の存在と構造

非平方のdに対して、ペル方程式は無限に多くの解を持ちます。基本解が存在し、他のすべての解は実二次体における対応する単数のべき乗を取ることによって得られます。

連分数と二次無理数

dの平方根の連分数展開は最終的に周期的であり、その近似分数は基本ペル解を提供し、ディオファントス可解性をディオファントス近似に結びつけます。

Clinical relevance

ペル型方程式と連分数は、二次体の基本単数とレギュレーターを計算するアルゴリズムや、無理数比の近似に現れ、暦の設計、歯車比、格子削減において実用的に利用されています。

History

インドの数学者、特に7世紀のブラフマグプタとチャクラバーラ法を用いたバースカラ2世は、ヨーロッパよりも何世紀も前にペル方程式を解いていました。フェルマーはこれを挑戦として提示し、ラグランジュは1768年にヨーロッパで最初の完全な証明を与えました。ペルという名称は、オイラーによる歴史的な誤帰属です。

Key figures

• Brahmagupta
• Joseph-Louis Lagrange
• Pierre de Fermat
• John Pell

Seminal works

• hardyWright2008

Frequently asked questions

なぜペル方程式と呼ばれるのですか？

歴史的な誤りによるものです。オイラーはジョン・ペルにこの方程式を帰属させましたが、ペルはこの方程式についてほとんど研究していませんでした。実質的な初期の進歩は、インドの数学者、フェルマー、そしてラグランジュによってなされました。

ペル解はどのように見つけるのですか？

dの平方根を連分数として展開します。その周期的な近似分数が基本解を与え、そこから繰り返しの合成によって他のすべての解が生成されます。