ガロア群

体の拡大におけるガロア群は、基礎体を固定する体の自己同型群であり、多項式の根の対称性を符号化し、中間体をインデックス付けします。

Definition

体の拡大において、ガロア群は基礎体のすべての要素を固定する、より大きな体の自己同型群です。この群の位数が拡大次数に等しい場合、その拡大はガロア拡大と呼ばれ、これは有限正規かつ分離的な拡大の場合にのみ起こります。

Scope

このトピックでは、体の拡大の自己同型、ガロア群の定義、正規拡大と分離拡大、ガロア理論の基本定理、多項式のガロア群の計算、およびその根の置換群としての解釈について扱います。

Core questions

• 体の拡大はどのような対称性を持つか？
• 拡大がガロア拡大であるのはいつか、またその自己同型群の大きさはどのくらいか？
• ガロア群は中間体とどのように対応するか？
• 多項式のガロア群は、その根の置換群としてどのように実現されるか？

Key theories

ガロア理論の基本定理

有限ガロア拡大に対して、中間体とガロア群の部分群の間には包含関係を逆転させる全単射が存在し、部分拡大の次数は対応する部分群の指数に等しくなります。

根の置換としてのガロア群

分離多項式のガロア群は、その根に忠実に作用し、それらの根上の対称群の部分群として埋め込まれるため、群の制約を与え、計算を助けます。

アルティンの固定体に関する定理

有限自己同型群が体上に作用する場合、その体全体は固定部分体のガロア拡大であり、その群がガロア群となります。これはガロア群の構成に対する逆を与えます。

Clinical relevance

ガロア群は、体の拡大と多項式方程式に関する問題を群論に変換します。その可解性は、根による可解性を決定し、逆ガロア問題とガロア表現は、現代の数論と算術幾何学の中心的な概念となっています。

History

ガロアは1830年代に、各方程式にその根の置換群（元のガロア群）を関連付けました。デデキントとアルティンはこれを体の自己同型という観点から再構築し、アルティンによる固定体に関する定式化は、この理論に現代的で概念的な形を与えました。

Key figures

• Évariste Galois
• Emil Artin
• Richard Dedekind
• Leopold Kronecker

Seminal works

• dummit2004
• lang2002
• artin2011

Frequently asked questions

体の拡大がガロア拡大であるのはいつですか？

有限拡大は、正規（その各要素のすべての共役元を含む）かつ分離的（最小多項式が異なる根を持つ）である場合にガロア拡大となります。同等に、基礎体を固定する自己同型群の位数が拡大次数に等しい場合もガロア拡大です。

ガロア群を根を置換するものとして見るのはなぜですか？

基礎体を固定する自己同型は、多項式の根を他の根に送らなければならないため、群は根の有限集合に作用します。これにより、ガロア群は対称群の内部で実現され、計算可能になり、置換群論と結びつきます。