Integrasi Monte Carlo

Integrasi Monte Carlo mengestimasi integral tentu sebagai rata-rata integran atas titik-titik sampel acak, mengubah integrasi menjadi estimasi ekspektasi.

Definition

Integrasi Monte Carlo adalah aproksimasi integral dengan menuliskannya sebagai ekspektasi suatu fungsi di bawah distribusi sampling dan mengestimasi ekspektasi tersebut dengan rata-rata sampel atas penarikan dari distribusi.

Scope

Topik ini mencakup representasi integral sebagai ekspektasi, estimasi Monte Carlo "mentah" (kasar) dan ketidakberpihakannya, laju konvergensi akar-n dan independensinya terhadap dimensi, estimasi galat melalui standar deviasi sampel, dan perbandingan dengan kuadratur deterministik. Penyempurnaan pengurangan varians diperlakukan sebagai ekstensi yang dibahas di tempat lain.

Core questions

• Bagaimana integral arbitrer dinyatakan sebagai ekspektasi yang cocok untuk sampling?
• Mengapa estimator Monte Carlo kasar tidak bias dan konsisten?
• Apa yang mengatur laju galat akar-n, dan mengapa ia independen terhadap dimensi?
• Kapan integrasi Monte Carlo mengungguli kuadratur deterministik?

Key concepts

• Estimator Monte Carlo kasar
• Ketidakberpihakan
• Galat standar
• Independensi dimensi
• Kepadatan sampling

Key theories

Integral sebagai ekspektasi

Menulis integral sebagai ekspektasi integran dibagi dengan kepadatan sampling mengubah integrasi menjadi estimasi rata-rata, yang diestimasi oleh rata-rata sampel tanpa bias.

Laju konvergensi dan estimasi galat

Teorema limit pusat memberikan galat standar yang proporsional dengan satu per akar kuadrat dari ukuran sampel, independen terhadap dimensi integral, dan standar deviasi empiris dari penjumlahan memberikan estimasi galat yang dapat digunakan.

Clinical relevance

Integrasi Monte Carlo menghitung konstanta normalisasi, ekspektasi posterior, kemungkinan marjinal, dan ekspektasi berdimensi tinggi yang muncul di seluruh statistik dan ilmu fisika; laju galatnya yang independen dimensi menjadikannya metode pilihan di mana kuadratur berbasis grid menjadi tidak praktis.

History

Gagasan untuk mengestimasi integral dengan sampling berasal dari komputasi Los Alamos tahun 1940-an dan makalah Metropolis dan Ulam tahun 1949; ini menjadi praktik rutin seiring dengan pertumbuhan daya komputasi dan ketika para ahli statistik menyadari keunggulannya dibandingkan kuadratur dalam dimensi tinggi.

Key figures

• Stanislaw Ulam
• Nicholas Metropolis
• Christian P. Robert

Seminal works

• robert2004
• metropolis1949

Frequently asked questions

Seberapa akurat integrasi Monte Carlo?

Galatnya berkurang seperti satu per akar kuadrat dari jumlah sampel, sehingga melipatgandakan ukuran sampel empat kali akan mengurangi galat menjadi separuhnya. Estimator ini juga dilengkapi dengan estimasi galat bawaan dari standar deviasi sampel nilai-nilai integran.

Kapan saya harus memilih Monte Carlo daripada kuadratur standar?

Untuk integral mulus berdimensi rendah, kuadratur deterministik umumnya konvergen lebih cepat. Monte Carlo unggul dalam dimensi tinggi, di mana biaya grid tumbuh secara eksponensial tetapi laju galat Monte Carlo tetap sama.