Hukum Bilangan Besar

Hukum bilangan besar menyatakan bahwa rata-rata dari banyak observasi independen dari suatu kuantitas acak akan konvergen ke nilai yang diharapkan, memberikan dasar matematis pada intuisi bahwa frekuensi jangka panjang akan stabil.

Definition

Hukum bilangan besar menegaskan bahwa rata-rata sampel dari variabel acak independen yang terdistribusi secara identik dengan rata-rata terbatas akan konvergen ke rata-rata tersebut, dalam probabilitas untuk hukum lemah dan hampir pasti untuk hukum kuat.

Scope

Topik ini mencakup hukum lemah bilangan besar yang dibuktikan dengan ketaksamaan Chebyshev dan dengan pemotongan (truncation), hukum lemah Khinchin hanya di bawah rata-rata yang terbatas, hukum kuat bilangan besar Kolmogorov dengan ketaksamaan maksimal dan teorema tiga deretnya, perbedaan antara konvergensi dalam probabilitas dan konvergensi hampir pasti, serta kegagalan hukum untuk variabel tanpa rata-rata yang terbatas.

Core questions

• Dalam pengertian apa rata-rata sampel mendekati rata-rata sebenarnya seiring bertambahnya sampel?
• Apa perbedaan antara hukum lemah dan kuat, dan hipotesis apa yang dibutuhkan masing-masing?
• Ketaksamaan dan dekomposisi apa yang membuat hukum kuat dapat dibuktikan?
• Apa yang terjadi ketika distribusi yang mendasari tidak memiliki rata-rata yang terbatas?

Key concepts

• konvergensi dalam probabilitas
• konvergensi hampir pasti
• ketaksamaan Chebyshev
• metode pemotongan (truncation method)
• teorema tiga deret Kolmogorov

Key theories

Hukum lemah bilangan besar

Untuk variabel independen yang terdistribusi secara identik dengan rata-rata terbatas, rata-rata sampel konvergen ke rata-rata dalam probabilitas, suatu hasil yang dapat diperoleh dari ketaksamaan Chebyshev ketika varians terbatas dan dari argumen pemotongan di bawah hipotesis Khinchin yang lebih lemah.

Hukum kuat bilangan besar Kolmogorov

Untuk variabel independen yang terdistribusi secara identik, rata-rata terbatas adalah kondisi yang perlu dan cukup agar rata-rata sampel konvergen ke rata-rata hampir pasti, bentuk definitif dari hukum dan dasar untuk interpretasi frekuensi probabilitas.

Clinical relevance

Hukum kuat adalah yang mengizinkan estimasi ekspektasi dengan rata-rata sampel dan mendasari integrasi Monte Carlo, konsistensi estimator dalam statistika, dan interpretasi frekuentis probabilitas sebagai frekuensi relatif jangka panjang; kegagalannya untuk data berekor tebal memperingatkan agar tidak merata-ratakan kuantitas dengan rata-rata tak terbatas seperti kerugian asuransi tertentu.

History

Bernoulli membuktikan hukum bilangan besar pertama untuk proporsi binomial pada tahun 1713. Chebyshev memberikan bukti sederhana berbasis varians, Khinchin melemahkan hipotesis menjadi rata-rata terbatas, dan Kolmogorov menetapkan hukum kuat hampir pasti yang definitif bersama dengan ketaksamaan maksimal dan teorema tiga deret yang membuktikannya.

Key figures

• Jacob Bernoulli
• Pafnuty Chebyshev
• Aleksandr Khinchin
• Andrey Kolmogorov

Seminal works

• billingsley1995

Frequently asked questions

Apa perbedaan antara hukum lemah dan kuat bilangan besar?

Hukum lemah menyatakan bahwa rata-rata kemungkinan besar akan mendekati rata-rata untuk ukuran sampel tetap yang besar, sedangkan hukum kuat menyatakan bahwa dengan probabilitas satu, seluruh urutan rata-rata konvergen ke rata-rata; hukum kuat adalah pernyataan yang lebih definitif.

Bisakah hukum bilangan besar gagal?

Ya; jika distribusi yang mendasari tidak memiliki rata-rata terbatas, seperti distribusi Cauchy, rata-rata sampel sama sekali tidak konvergen ke konstanta, dan hukum dalam bentuk biasanya tidak berlaku.