Grup Galois

Grup Galois dari suatu perluasan medan adalah grup automorfisme medan yang mempertahankan medan dasar, mengkodekan simetri akar-akar polinomial dan mengindeks medan-medan intermediat.

Definition

Untuk suatu perluasan medan, grup Galois adalah grup automorfisme dari medan yang lebih besar yang mempertahankan setiap elemen dari medan dasar; perluasan tersebut disebut Galois ketika grup ini sebesar derajatnya, yang terjadi tepat untuk perluasan normal dan terpisahkan hingga (finite normal and separable extensions).

Scope

Topik ini mencakup automorfisme perluasan medan, definisi grup Galois, perluasan normal dan terpisahkan (separable), teorema fundamental teori Galois, dan perhitungan grup Galois dari polinomial serta interpretasinya sebagai grup permutasi akar-akar.

Core questions

• Simetri apa yang dimiliki oleh perluasan medan?
• Kapan suatu perluasan disebut Galois, dan seberapa besar grup automorfismenya?
• Bagaimana grup Galois berhubungan dengan medan-medan intermediat?
• Bagaimana grup Galois dari suatu polinomial direalisasikan sebagai grup permutasi dari akar-akarnya?

Key theories

Teorema fundamental teori Galois

Untuk perluasan Galois hingga, terdapat bijeksi pembalik inklusi antara medan-medan intermediat dan subgrup dari grup Galois, di mana derajat subperluasan sama dengan indeks subgrup yang bersesuaian.

Grup Galois sebagai permutasi akar-akar

Grup Galois dari polinomial terpisahkan (separable polynomial) bekerja secara setia pada akar-akarnya, menanamkannya sebagai subgrup dari grup simetris pada akar-akar tersebut, yang membatasi dan membantu menghitung grup.

Teorema Artin tentang medan tetap

Jika grup automorfisme hingga bekerja pada suatu medan, seluruh medan adalah perluasan Galois dari submedan tetap dengan grup tersebut sebagai grup Galoisnya, memberikan kebalikan dari konstruksi grup Galois.

Clinical relevance

Grup Galois mengubah pertanyaan tentang perluasan medan dan persamaan polinomial menjadi teori grup; keterpecahannya (solvability) menentukan keterpecahan oleh radikal, dan masalah Galois invers serta representasi Galois menjadikannya pusat dalam teori bilangan modern dan geometri aritmetika.

History

Galois mengaitkan setiap persamaan dengan grup permutasi akar-akarnya pada tahun 1830-an, yaitu grup Galois asli. Dedekind dan Artin merumuskan ulang ini dalam istilah automorfisme medan, dan formulasi Artin dalam istilah medan tetap (fixed fields) memberikan teori ini bentuk konseptual modernnya.

Key figures

• Évariste Galois
• Emil Artin
• Richard Dedekind
• Leopold Kronecker

Seminal works

• dummit2004
• lang2002
• artin2011

Frequently asked questions

Kapan suatu perluasan medan disebut Galois?

Perluasan hingga disebut Galois ketika perluasan tersebut normal (mengandung semua konjugat dari setiap elemennya) dan terpisahkan (polinomial minimal memiliki akar-akar yang berbeda). Secara ekuivalen, grup automorfisme yang mempertahankan basis memiliki orde yang sama dengan derajatnya.

Mengapa melihat grup Galois sebagai permutasi akar-akar?

Automorfisme yang mempertahankan medan dasar harus mengirim akar-akar polinomial ke akar-akar lain, sehingga grup tersebut bekerja pada himpunan akar-akar yang hingga. Ini merealisasikan grup Galois di dalam grup simetris, membuatnya dapat dihitung dan menghubungkannya dengan teori grup permutasi.