Mengapa kuintik umum tidak dapat diselesaikan oleh radikal?

Berdasarkan kriteria Galois, keterpecahan oleh radikal setara dengan grup Galois yang dapat dipecahkan. Grup simetris pada lima huruf, yang muncul sebagai grup Galois dari kuintik umum, tidak dapat dipecahkan, sehingga tidak ada formula radikal umum yang ada.

Apa sebenarnya yang dicocokkan oleh korespondensi Galois?

Ini memasangkan setiap medan yang terletak di antara medan dasar dan medan teratas dengan subkelompok automorfisme yang memperbaikinya, membalikkan inklusi. Ini mengubah pertanyaan sulit tentang medan menjadi pertanyaan yang lebih mudah ditangani tentang grup hingga.

Teori Medan dan Teori Galois

Teori medan mempelajari aritmetika medan dan perluasannya, dan teori Galois menetapkan kamus yang tepat antara perluasan medan dan kelompok simetri, menyelesaikan pertanyaan klasik tentang penyelesaian persamaan polinomial.

Temukan Topik dengan PaperMindSegeraFind papers & topics

Tools & resources

Unduh salindia

Learn & explore

VideoSegera

Definition

Medan adalah gelanggang komutatif di mana setiap elemen bukan nol memiliki invers perkalian. Teori medan mempelajari medan dan perluasan di antaranya; teori Galois menganalisis perluasan normal dan terpisah melalui grup automorfismenya, grup Galois.

Scope

Area ini mencakup perluasan medan dan derajatnya, elemen aljabar dan transendental, medan pemisah dan penutupan aljabar, keterpisahan dan kenormalan, korespondensi Galois antara medan intermediat dan subkelompok, keterpecahan oleh radikal, dan struktur medan hingga. Ini adalah puncak dari urutan aljabar pascasarjana pertama.

Sub-topics

Core questions

Bagaimana derajat dan struktur perluasan medan tertentu, dan apakah itu aljabar atau transendental?
Bagaimana grup Galois dari suatu perluasan mengklasifikasikan medan intermediatnya?
Kapan persamaan polinomial dapat diselesaikan oleh radikal?
Apa saja medan hingga yang mungkin dan bagaimana cara konstruksinya?

Key theories

Teorema fundamental teori Galois: Untuk perluasan Galois hingga, terdapat bijeksi pembalik inklusi antara medan intermediat dan subkelompok dari grup Galois, di mana subkelompok normal berhubungan dengan subperluasan normal.
Keterpecahan oleh radikal: Polinomial dapat dipecahkan oleh radikal jika dan hanya jika grup Galoisnya adalah grup yang dapat dipecahkan; kriteria ini menjelaskan ketidakmungkinan formula radikal umum untuk persamaan kuintik dan derajat yang lebih tinggi.
Klasifikasi medan hingga: Untuk setiap pangkat prima, terdapat, hingga isomorfisme, tepat satu medan hingga dengan orde tersebut, dan grup perkaliannya adalah siklik; medan hingga membentuk menara yang diatur oleh keterbagian derajatnya.

Clinical relevance

Teori Galois menyelesaikan masalah penyelesaian persamaan polinomial yang berusia ribuan tahun dan masalah konstruksi penggaris-dan-kompas klasik. Medan hingga sangat diperlukan dalam teori pengkodean, kriptografi, dan pembangkitan bilangan pseudorandom, dan teori yang lebih luas mendasari teori bilangan aljabar.

History

Berdasarkan bukti Abel bahwa kuintik umum tidak dapat dipecahkan oleh radikal, Galois memperkenalkan pada tahun 1830-an grup persamaan dan korespondensi yang sekarang menyandang namanya. Steinitz memberikan teori medan abstrak modern pada tahun 1910, dan Artin merumuskan kembali teori Galois dalam hal grup automorfisme dan kebebasan linear karakter.

Key figures

Évariste Galois
Niels Henrik Abel
Ernst Steinitz
Emil Artin
Leopold Kronecker

Seminal works

lang2002
dummit2004
artin2011

Frequently asked questions

Mengapa kuintik umum tidak dapat diselesaikan oleh radikal?: Berdasarkan kriteria Galois, keterpecahan oleh radikal setara dengan grup Galois yang dapat dipecahkan. Grup simetris pada lima huruf, yang muncul sebagai grup Galois dari kuintik umum, tidak dapat dipecahkan, sehingga tidak ada formula radikal umum yang ada.
Apa sebenarnya yang dicocokkan oleh korespondensi Galois?: Ini memasangkan setiap medan yang terletak di antara medan dasar dan medan teratas dengan subkelompok automorfisme yang memperbaikinya, membalikkan inklusi. Ini mengubah pertanyaan sulit tentang medan menjadi pertanyaan yang lebih mudah ditangani tentang grup hingga.