Bagaimana kalkulus variasi berbeda dari kalkulus biasa?

Kalkulus biasa menemukan titik-titik di mana suatu fungsi adalah yang terbesar atau terkecil, sedangkan kalkulus variasi menemukan seluruh fungsi, seperti kurva atau permukaan, yang meng-ekstrem-kan suatu integral. Yang tidak diketahui adalah fungsi daripada angka, dan kondisi untuk suatu ekstremum adalah persamaan diferensial.

Apa itu prinsip aksi terkecil?

Ini adalah pernyataan fisik bahwa gerakan suatu sistem membuat kuantitas yang disebut aksi menjadi stasioner. Menerapkan kalkulus variasi pada aksi menghasilkan persamaan gerak, sehingga sebagian besar fisika klasik dan kuantum dapat diturunkan dari satu prinsip variasi.

Kalkulus Variasi

Kalkulus variasi mencari fungsi-fungsi yang meng-ekstrem-kan fungsional integral, menggeneralisasi maksimisasi dan minimisasi biasa dari titik ke kurva dan medan.

Temukan Topik dengan PaperMindSegeraFind papers & topics

Tools & resources

Unduh salindia

Learn & explore

VideoSegera

Definition

Kalkulus variasi mempelajari fungsional, yang menetapkan angka ke fungsi, dan mencari fungsi-fungsi di mana suatu fungsional stasioner atau mencapai nilai ekstrem, tunduk pada kondisi batas dan samping.

Scope

Area ini mencakup penurunan persamaan Euler-Lagrange sebagai kondisi yang diperlukan untuk suatu ekstremal, masalah variasi dengan batasan dan batas bebas, kondisi variasi kedua dan konveksitas untuk minima, metode langsung yang menetapkan keberadaan minimizer, dan hubungan dengan mekanika Hamiltonian serta kontrol optimal.

Sub-topics

Core questions

Fungsi-fungsi manakah yang membuat suatu fungsional integral tertentu stasioner?
Kondisi perlu dan cukup apa yang mengidentifikasi suatu minimizer?
Kapan suatu minimizer benar-benar ada?
Bagaimana prinsip-prinsip variasi mengkodekan hukum-hukum fisika?

Key theories

Persamaan Euler-Lagrange: Suatu fungsi yang meng-ekstrem-kan fungsional integral harus memenuhi persamaan diferensial Euler-Lagrange, analog variasi dari pengaturan turunan menjadi nol.
Metode langsung: Keberadaan suatu minimizer ditetapkan dengan mengambil suatu barisan minimisasi dan menggunakan kekompakan serta semikontinuitas bawah, melewati solusi eksplisit dari persamaan Euler-Lagrange.
Prinsip-prinsip variasi dalam fisika: Prinsip aksi stasioner Hamilton merumuskan kembali mekanika dan teori medan sebagai masalah variasi, menyatukan persamaan pengaturnya melalui kalkulus variasi.

Clinical relevance

Metode variasi mengekspresikan hukum-hukum fundamental di seluruh fisika melalui prinsip aksi terkecil dan energi minimal, dan metode ini mendasari kontrol optimal, geometri permukaan minimal dan geodesik, pemrosesan citra, serta metode elemen hingga dalam rekayasa.

History

Subjek ini dimulai dengan masalah brakistokron yang diajukan oleh Johann Bernoulli pada tahun 1696. Euler dan Lagrange mengembangkan teori umum dan persamaan Euler-Lagrange pada abad kedelapan belas, Hamilton merumuskan kembali mekanika secara variasi, dan metode langsung Hilbert pada abad kedua puluh serta masalah kedua puluh tiganya merevitalisasi teori keberadaan.

Key figures

Leonhard Euler
Joseph-Louis Lagrange
William Rowan Hamilton
David Hilbert

Seminal works

gelfand1963
courant1953
dacorogna2008

Frequently asked questions

Bagaimana kalkulus variasi berbeda dari kalkulus biasa?: Kalkulus biasa menemukan titik-titik di mana suatu fungsi adalah yang terbesar atau terkecil, sedangkan kalkulus variasi menemukan seluruh fungsi, seperti kurva atau permukaan, yang meng-ekstrem-kan suatu integral. Yang tidak diketahui adalah fungsi daripada angka, dan kondisi untuk suatu ekstremum adalah persamaan diferensial.
Apa itu prinsip aksi terkecil?: Ini adalah pernyataan fisik bahwa gerakan suatu sistem membuat kuantitas yang disebut aksi menjadi stasioner. Menerapkan kalkulus variasi pada aksi menghasilkan persamaan gerak, sehingga sebagian besar fisika klasik dan kuantum dapat diturunkan dari satu prinsip variasi.